Dado o PVI
a) Determine a solução do PVI.
b) Para quais valores de
a solução é crescente e para quais valores
a solução é decrescente?
c) Qual o limite de
quando
tende
? O limite depende de
?
b) Para quais valores de
c) Qual o limite de
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
que é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que exige identificar
e
.
Passo 2
Calculamos o fator integrante
Multiplicando a EDO por
, obtemos
Como
, temos
. Logo, integrando,
Isolando
,
Para satisfazer
temos
Portanto a solução do PVI é
Passo 3
Para estudar onde
é crescente ou decrescente, calculamos
Como
e
(e estritamente
se
), o sinal de
vem de
. Assim, para
(e valendo o mesmo para
visto que
continua positivo):
- Se
, então e a solução é crescente. - Se
, então e a solução é decrescente. - Se
, então e é constante igual a .
Passo 4
Para o limite em
, note que
. Então
Esse limite é sempre
, independentemente de
.
Resposta
a)
.
b) A solução é crescente se , decrescente se
e constante (igual a
) se
.
c) , independentemente de
.
b) A solução é crescente se
c)