Dado o PVI
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime}+5 x^{4} y=x^{4} \\\ y(0)=y_{0} \end{array}\right.
a) Determine a solução do PVI.
b) Para quais valores de y_{0} a solução é crescente e para quais valores y_{0} a solução é decrescente?
c) Qual o limite de y(x) quando x tende \mathrm{a}+\infty ? O limite depende de y_{0} ?

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} y' + 5x^{4}y = x^{4},\\\ y(0)=y_{0}, \end{cases}
que é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que exige identificar P(x)=5x^{4} e Q(x)=x^{4}.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int 5x^{4}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(x^{5}\bigr).
Multiplicando a EDO por \mu(x), obtemos
\exp(x^{5})\,y' + 5x^{4}\exp(x^{5})\,y = x^{4}\exp(x^{5}) \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{x^{5}}\bigr) = x^{4}e^{x^{5}}.
Como \frac{d}{dx}e^{x^{5}}=5x^{4}e^{x^{5}}, temos x^{4}e^{x^{5}}=\tfrac{1}{5}\,\frac{d}{dx}e^{x^{5}}. Logo, integrando,
y\,e^{x^{5}} = \int x^{4}e^{x^{5}}\,dx = \frac{1}{5}e^{x^{5}} + C.
Isolando y,
y(x) = \frac{1}{5} + C\,e^{-x^{5}}.
Para satisfazer y(0)=y_{0} temos
y(0)=\frac{1}{5} + C = y_{0} \quad\Longrightarrow\quad C = y_{0} - \frac{1}{5}.
Portanto a solução do PVI é
\boxed{y(x)=\frac{1}{5} + \Bigl(y_{0}-\frac{1}{5}\Bigr)e^{-x^{5}}.}

Passo 3

Para estudar onde y é crescente ou decrescente, calculamos
y'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac{1}{5} + \bigl(y_{0}-\tfrac{1}{5}\bigr)e^{-x^{5}}\Bigr] = \bigl(y_{0}-\tfrac{1}{5}\bigr)\,\bigl(-5x^{4}\bigr)e^{-x^{5}} = -5x^{4}\Bigl(y_{0}-\frac{1}{5}\Bigr)e^{-x^{5}}.
Como e^{-x^{5}}>0 e x^{4}\ge0 (e estritamente >0 se x\neq0), o sinal de y' vem de -\bigl(y_{0}-\tfrac{1}{5}\bigr). Assim, para x>0 (e valendo o mesmo para x<0 visto que x^{4} continua positivo):
  • Se y_{0}<\tfrac{1}{5}, então y'\!>\!0 e a solução é crescente.
  • Se y_{0}>\tfrac{1}{5}, então y'\!<\!0 e a solução é decrescente.
  • Se y_{0}=\tfrac{1}{5}, então y'(x)=0 e y(x) é constante igual a \tfrac{1}{5}.

Passo 4

Para o limite em +\infty, note que e^{-x^{5}}\to0. Então
\lim_{x\to+\infty}y(x) = \lim_{x\to+\infty}\Bigl[\tfrac{1}{5} + \bigl(y_{0}-\tfrac{1}{5}\bigr)e^{-x^{5}}\Bigr] = \frac{1}{5}.
Esse limite é sempre \tfrac{1}{5}, independentemente de y_{0}.

Resposta

a) \displaystyle y(x)=\frac{1}{5}+\Bigl(y_{0}-\frac{1}{5}\Bigr)e^{-x^{5}}.
b) A solução é crescente se y_{0}<\tfrac{1}{5}, decrescente se y_{0}>\tfrac{1}{5} e constante (igual a \tfrac{1}{5}) se y_{0}=\tfrac{1}{5}.
c) \displaystyle \lim_{x\to+\infty}y(x)=\tfrac{1}{5}, independentemente de y_{0}.

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