Resolva os problemas de valor inicial:
y^{\prime}+(1-2 x) y=x e^{-x} ; \quad y(0)=2

Passo 1

O problema é um valor inicial para uma equação diferencial ordinária de primeira ordem linear. Temos
y' + (1 - 2x)\,y = x e^{-x},
com a condição y(0)=2. Vamos resolver usando o fator integrante.

Passo 2

Identificamos P(x)=1-2x e Q(x)=x e^{-x}. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int (1 - 2x)\,dx\Bigr) = \exp\bigl(x - x^2\bigr).

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x):
e^{x - x^2}y' + (1-2x)e^{x - x^2}y = x e^{-x}\,e^{x - x^2} = x e^{-x^2}.
O lado esquerdo é a derivada de \mu(x)y, logo
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x - x^2}y\bigr) = x e^{-x^2}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{x - x^2}y = \int x e^{-x^2}\,dx = -\tfrac12 e^{-x^2} + C.

Passo 5

Isolando y:
y = e^{-x + x^2}\Bigl(-\tfrac12 e^{-x^2} + C\Bigr) = -\tfrac12 e^{-x} + C\,e^{x^2 - x}.

Passo 6

Usamos y(0)=2:
2 = -\tfrac12 e^{0} + C\,e^{0} \quad\Longrightarrow\quad 2 = -\tfrac12 + C \quad\Longrightarrow\quad C = \tfrac52.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{5}{2}\,e^{\,x^2 - x} \;-\;\frac{1}{2}\,e^{-x}.}

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