Determine a solução geral dos sistemas de equações diferenciais: x1' = 3*x1 + 2*x2, x2' = 4*x1 + x2

Passo 1

Beleza, vamos resolver um sistema de equações diferenciais. O exercício que você me enviou é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações diferenciais na forma matricial. Isso significa representar as derivadas das funções e como uma matriz multiplicada pelos próprios e . Ficaria assim:
onde
e

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
O determinante dessa matriz é:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Substituímos na equação :

[



]
Isso nos dá as equações:
Resolvente, temos . Podemos escolher , então .
Para :

[


]
Isso nos dá:
Simplificando, temos , então . Escolhendo , o autovetor é .

Passo 5

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
Substituindo os valores que encontramos:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

A solução geral do sistema é:

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