Resolva os problemas de valor inicial:
y^prime prime+4 y=2 x ; y(0)=1, y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y = 2x, y(0)=1, y'(0)=2
Esse é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular que satisfaça o termo não homogêneo 2x. Por fim, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 4 = 0 implies r = pm 2i
Logo, a solução geral da parte homogênea é
yh(x) = Acos(2x) + Bsin(2x),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Buscamos uma solução particular yp(x) para
y'' + 4y = 2x
Como o termo do lado direito é um polinômio de grau 1, tentamos
yp(x) = C x + D
Então
yp'(x) = C, yp''(x) = 0
Substituindo na EDO não homogênea:
0 + 4(Cx + D) = 2x implies 4C,x + 4D = 2x
Comparando coeficientes de x e termos constantes, temos
4C = 2 implies C = tfrac12, 4D = 0 implies D = 0
Portanto
yp(x) = x2

Passo 4

A solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = Acos(2x) + Bsin(2x) + x2
Agora aplicamos as condições iniciais.
  1. De y(0)=1:
y(0) = Acos0 + Bsin0 + 0 = A = 1
  1. Calculamos y'(x):
y'(x) = -2Asin(2x) + 2Bcos(2x) + 12
Em x=0:
y'(0) = -2Acdot 0 + 2Bcdot1 + 12 = 2B + 12 = 2 implies 2B = 32 implies B = 34
Assim, A=1 e B=tfrac34.

Resposta

boxedy(x) = cos(2x) + tfrac34sin(2x) + x2

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