Calcule os limites
lim x 0^+ ln (x) x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+ xln(x)
O conteúdo aqui é limites de funções que geram a forma indeterminada 0cdot(-infty). Para resolver, vamos transformar o produto em quociente e usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando xto0^+ temos
xto0^+e ln(x)to-infty,
logo o produto xln(x) é da forma 0cdot(-infty), que é indeterminada. Para aplicar L’Hôpital, reescrevemos
xln(x) =ln(x)1/x,
onde agora, ao avaliar limite, tanto o numerador quanto o denominador tendem a -infty e +infty, respectivamente, caracterizando uma forma tfrac-infty+infty.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a x:
numerador: ddx[ln(x)]=1x, denominador: ddxl[1xr]=-1x^2
Pelo teorema,
limxto0^+ln(x)1/x =limxto0^+tfrac1x-tfrac1x^2 =limxto0^+(-x)

Passo 4

Como
limxto0^+(-x)=0,
concluímos que o limite original é zero.

Resposta

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