Resolva os problemas de valores iniciais propostos e, na medida do possivel, encontre os domínios das soluções obtidas
y^{\prime}=\frac{x y^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}}, y(0)=1

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
y'=\frac{x\,y^3}{\sqrt{1+x^2}}, \quad y(0)=1.
Este é um caso de equação diferencial separável: vamos separar as variáveis y e x e integrar.

Passo 2

Separe variáveis escrevendo
\frac{dy}{y^3} \;=\;\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y^{-3}\,dy \;=\; \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx.
À esquerda
\int y^{-3}\,dy = -\frac{1}{2\,y^2}.
À direita, com a substituição u=1+x^2, du=2x\,dx, vem
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx = \int \frac{1}{2}\,u^{-1/2}\,du = \sqrt{u} = \sqrt{1+x^2}.
Logo obtemos
-\frac{1}{2\,y^2} = \sqrt{1+x^2} + C.

Passo 4

Use a condição inicial y(0)=1. Para x=0 e y=1 temos
-\frac{1}{2\cdot1^2} = -\tfrac12 = \sqrt{1+0}+C = 1 + C \;\Longrightarrow\; C = -\tfrac32.
Substituindo em
-\frac{1}{2\,y^2} = \sqrt{1+x^2} - \frac{3}{2}
e multiplicando ambos os lados por -2, fica
\frac{1}{y^2} = 3 - 2\sqrt{1+x^2}.

Passo 5

Isolando y e tomando o ramo positivo (para y(0)=1),
y(x) = \frac{1}{\sqrt{3 - 2\sqrt{1+x^2}}}.
Para a solução existir, requeremos
3 - 2\sqrt{1+x^2} > 0 \;\Longrightarrow\; \sqrt{1+x^2} < \tfrac{3}{2} \;\Longrightarrow\; x^2 < \tfrac{5}{4} \;\Longrightarrow\; |x| < \tfrac{\sqrt{5}}{2}.
Portanto o domínio máximo contendo 0 é
\bigl(-\tfrac{\sqrt{5}}{2},\tfrac{\sqrt{5}}{2}\bigr).

Resposta

y(x) = \frac{1}{\sqrt{3 - 2\sqrt{1+x^2}}}, \quad \text{domínio: }|x| < \frac{\sqrt{5}}{2}.í

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