Resolva os problemas de valores iniciais propostos e, na medida do possivel, encontre os domínios das soluções obtidas
y^{\prime}+\left(1+2 x^{-1}\right) y=x^{3} e^{-x}, y(1)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y'(x)+(1+2x^{-1})\,y(x)=x^3e^{-x},
com condição inicial y(1)=2. O conteúdo usado será o método do fator integrante para EDOs lineares.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int\bigl(1+2x^{-1}\bigr)\,dx\Bigr) =\exp\bigl(x+2\ln|x|\bigr) =e^x\,|x|^2.
Como a condição inicial está em x=1>0, tomamos \mu(x)=e^x x^2 no domínio x>0.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(x) obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(e^x x^2\,y(x)\bigr) =e^x x^2\bigl(y'(x)+(1+2x^{-1})y(x)\bigr) =e^x x^2\cdot x^3e^{-x} =x^5.
Integramos em x:
e^x x^2\,y(x)=\int x^5\,dx=\frac{x^6}{6}+C.

Passo 4

Isolando y(x) vem
y(x)=\frac{\frac{x^6}{6}+C}{e^x x^2} =\frac{x^4}{6}e^{-x}+C\,x^{-2}e^{-x}.
Impondo y(1)=2:
2=\frac{1^4}{6}e^{-1}+C\,1^{-2}e^{-1} \;\Longrightarrow\; 2e=\frac{1}{6}+C \;\Longrightarrow\; C=2e-\tfrac{1}{6}=\frac{12e-1}{6}.

Passo 5

O problema exige x\neq0 pela presença de x^{-1}. Como usamos a condição em x=1>0, o domínio natural da solução é x>0.

Resposta

y(x) =\frac{x^4}{6}e^{-x} +\frac{12e-1}{6}\,x^{-2}e^{-x}, \quad x>0.

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