Resolva os problemas
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Enunciado:
, com condições iniciais e . - Interpretação do termo de força:
é o impulso de Dirac deslocado, isto é (impulso aplicado em ). - O que se pede: encontrar a solução
para todo (satisfazendo a EDO e as condições iniciais).
Informações relevantes:
- A equação é linear, com coeficientes constantes, forçada por um impulso em
. - As condições iniciais são nulas (
). - Pela linearidade e causalidade, para
a solução deve ser zero (nenhum impulso ainda agiu).
Passo 2
Método escolhido e justificativa rápida (sem detalhar cálculos ainda).
- Usarei transformada de Laplace porque lida muito bem com derivadas (transforma em polinômios em
) e com o impulso deslocado: . Com condições iniciais nulas a conta fica direta. - Depois farei a transformada inversa; a presença do fator
corresponde a um deslocamento no tempo (teorema do deslocamento).
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à EDO (lembrando as fórmulas para derivadas).
- Fórmula:
, . - Como
e , temos e . - Transformando a equação:
- Agrupando
:
- Portanto
Passo 4
Interpretar o fator
e reduzir o problema à inversa de uma função simples.
- Pelo teorema do deslocamento: se
então , onde é a função degrau unitário. - Assim a solução no domínio do tempo é
onde
é a transformada inversa de
- Ou seja, primeiro achamos
para , e depois deslocamos: .
Passo 5
Calcular
.
- Factorizar a constante:
- Completar o quadrado no denominador:
- Identificamos a forma
com
Passo 6
Usar fórmulas conhecidas da transformada de Laplace para inverter.
- Lembrar as transformadas:
- Como queremos inverter
, usamos
e portanto
- No nosso caso
e , então
- Lembrando o fator
anterior,
Passo 7
Montar a solução final usando o deslocamento no tempo.
- Pela fórmula do passo 4:
- Substituindo
:
- Observação física e checagem rápida: para
temos e então , consistente com a ausência do impulso antes de . Imediatamente após o impulso há um salto na derivada: integrando a EDO em torno de obtém-se ; como é contínua em um impulso puro, e então . Podemos conferir que , logo , compatível.