Use o método de separação de variáveis para resolver o problema
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a PDE ut=(t^2+t)uxx em 0, t>0, com condições de contorno u(0,t)=u(1,t)=0 e condição inicial u(x,0)=4sin(2pi x)-2sin(5pi x). O assunto é Equação de Difusão com coeficiente dependente do tempo, e vamos usar separação de variáveis.
Passo 2
Suposição de solução por separação de variáveis: escrevemos u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo na PDE temos
T'(t)X(x)=(t^2+t)T(t)X''(x)
Dividindo por X(x)T(t) obtemos
T'(t)(t^2+t)T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
ou seja, surge uma constante de separação lambda.
Passo 3
Resolvendo o problema de autovalores espacial: temos
X''(x)+lambda X(x)=0, X(0)=X(1)=0
Esse é um problema clássico que leva a lambdan=(npi)^2 e autovetores
Xn(x)=sin(npi x), n=1,2,3,dots .
Passo 4
Resolvendo a parte temporal: a equação é
T'(t)=-lambdan,(t^2+t),T(t)
Isso é um ODE separável. Integramos:
integraldTT=-lambdanintegral(t^2+t),dt
ln T=-lambdanl(tfract^33+tfract^22r)+C
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Tn(t)=Anexp!l(-lambdanl(tfract^33+tfract^22r)r)
Passo 5
Construindo a solução geral e aplicando a condição inicial: juntando as séries, escrevemos