(3,0) Use o método de separação de variáveis para resolver o problema
c (t^2+t) ux x=ut, 00 u(0, t)=u(1, t)=0, t>0 u(x, 0)=4 sen(2 pi x)-2 sen(5 pi x)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a PDE ut=(t^2+t)uxx em 0, t>0, com condições de contorno u(0,t)=u(1,t)=0 e condição inicial u(x,0)=4sin(2pi x)-2sin(5pi x). O assunto é Equação de Difusão com coeficiente dependente do tempo, e vamos usar separação de variáveis.

Passo 2

Suposição de solução por separação de variáveis: escrevemos u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo na PDE temos
T'(t)X(x)=(t^2+t)T(t)X''(x)
Dividindo por X(x)T(t) obtemos
T'(t)(t^2+t)T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
ou seja, surge uma constante de separação lambda.

Passo 3

Resolvendo o problema de autovalores espacial: temos
X''(x)+lambda X(x)=0, X(0)=X(1)=0
Esse é um problema clássico que leva a lambdan=(npi)^2 e autovetores
Xn(x)=sin(npi x), n=1,2,3,dots .

Passo 4

Resolvendo a parte temporal: a equação é
T'(t)=-lambdan,(t^2+t),T(t)
Isso é um ODE separável. Integramos:
integraldTT=-lambdanintegral(t^2+t),dt
ln T=-lambdanl(tfract^33+tfract^22r)+C
Logo
Tn(t)=Anexp!l(-lambdanl(tfract^33+tfract^22r)r)

Passo 5

Construindo a solução geral e aplicando a condição inicial: juntando as séries, escrevemos
u(x,t)=sumn=1^infty Ansin(npi x)exp!l(-n^2pi^2l(tfract^33+tfract^22r)r)
Para t=0 temos
u(x,0)=sumn=1^infty Ansin(npi x)=4sin(2pi x)-2sin(5pi x)
Isso implica que apenas A2=4 e A5=-2, os demais são zero.
Solução final: inserindo os coeficientes não nulos, obtemos
Resposta final:

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