Calcule a integral.
integral d xraizx^2-a^2 d x, onde a>0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de integraldxraizx^2-a^2, com a>0. O conteúdo envolvido é integração por substituição trigonométrica, já que aparece raizx^2-a^2.

Passo 2

Para que raizx^2-a^2 seja real, precisamos de |x|>a. Vamos assumir x>a para simplificar (o resultado vale em qualquer intervalo onde o radical seja definido).
Fazendo a substituição trigonométrica x=asectheta. Daí dx=asecthetatantheta,dtheta e

Substituindo na integral original, temos

Passo 3

Sabemos que
x.
Agora voltamos a sectheta=tfracxa: como tantheta=tfracraizx^2-a^2a e , temos

Passo 4

Como a constante ln|a| pode ser absorvida em C, o resultado final fica bem mais simples.

Resposta

lnl|x+raizx^2-a^2r|+C

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