Resolva o PVI abaixo:
x^prime+(10-2) x=2 e^4 t, x(0)=0

Passo 1

O problema pede para resolver o PVI x'(t)+(10-2)x(t)=2e^4t com x(0)=0. Isso cai em EDO linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reconhecemos a forma padrão da EDO: x'+p(t)x=g(t) com p(t)=8 e g(t)=2e^4t. No método do fator integrante usamos mu(t)=e^integral p(t),dt.
Como p(t)=8, calculamos o fator integrante:
mu(t)=e^integral 8,dt=e^8t

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t) e vemos que o lado esquerdo vira derivada de e^8tx:
e^8tx'+8e^8tx=2e^12t,
que é exatamente
(e^8tx)'=2e^12t

Passo 4

Integramos ambos os lados em t para achar e^8tx(t):
integral (e^8tx)',dt=integral 2e^12t,dt implies e^8tx=212e^12t+C=16e^12t+C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial x(0)=0. Em t=0 temos 0=tfrac16+C, logo C=-tfrac16. Substituindo de volta obtemos a solução completa.

Resposta

x(t)=tfrac16l(e^4t-e^-8tr)

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