Resolva o PVI abaixo:
y^prime=e^-y t, y(0)=ln (2+1)

Passo 1

Resumo do enunciado: o PVI é dado por y'=e^-yt com condição inicial y(0)=ln(2+1)=ln3. O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem separável, e vamos precisar usar separação de variáveis e integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis: lembrando que y'=dydt, escrevemos
e^y,dy = t,dt

Passo 3

Integramos cada lado:
integral e^y,dy = integral t,dt implies e^y = t^22 + C

Passo 4

Usamos a condição inicial para achar C:
t=0, y(0)=ln3 implies e^ln3=3 = 0^22 + C implies C=3

Passo 5

Obtemos a solução explícita isolando y:
e^y = t^22 + 3 implies y = lnl(t^22 + 3r)

Resposta

y(t)=lnl(tfract^22+3r)

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