Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^1-yt+1=2 t+2, t>-1, y(1)=5-1

Passo 1

Resumo do enunciado: resolver o PVI y' - yt+1 = 2t+2, com t>-1 e condição inicial y(1)=4. Temos uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos precisar identificar p(t), q(t) e usar fator integrante.

Passo 2

Escrever a equação na forma padrão y' + p(t)y = q(t). Aqui temos p(t) = -1t+1 e q(t)=2t+2. O fator integrante é
mu(t) = expgl(integral p(t),dtgr) = expl(integral -1t+1dtr) = 1t+1

Passo 3

Multiplicar ambos os lados da equação original por mu(t). Assim obtém-se
y't+1 - y(t+1)^2 = 2t+2t+1 = 2
O lado esquerdo é a derivada de
ddtl(yt+1r)

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a t:
yt+1 = integral 2,dt = 2t + C
Logo a solução geral é y = (t+1)(2t + C) = 2t^2 + (C+2)t + C

Passo 5

Aplicar a condição inicial y(1)=4. Substituindo em y = 2t^2 + (C+2)t + C com t=1:
2 + (C+2) + C = 4 ;Rightarrow; 2C + 4 = 4 ;Rightarrow; C=0
Assim a solução particular é y(t) = 2t^2 + 2t.

Resposta

y(t) = 2t^2 + 2t

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