Resolva o PVI^3
c (x^2-9) y^prime+x y=0 y(5)=y0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) de uma equação diferencial de primeira ordem. A equação dada é:
c (x^2-9) y^prime+x y=0 y(5)=y0
Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares para encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação diferencial para deixá-la no formato padrão das equações lineares de primeira ordem:
y^prime + P(x) y = Q(x)
Dividindo toda a equação original por y^prime + xx^2 - 9 y = 0 , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( mu(x) = e^integral P(x) dx ) que vai nos ajudar a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
integral xx^2 - 9 dx
Calculando a integral de integral xx^2 - 9 dx = 12 integral 1u du = 12 ln|u| + C = 12 ln|x^2 - 9| + C :
mu(x) = e^12 ln|x^2 - 9| = |x^2 - 9|^12 = raizx^2 - 9
Fazendo uma substituição simples, seja , então , ou seja, . Substituindo na integral:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
raizx^2 - 9 cdot y^prime + xraizx^2 - 9 y = 0
Isso transforma a equação de modo que o lado esquerdo se torna a derivada do produto ddx ( raizx^2 - 9 cdot y ) = 0 :

Passo 5

Integrando ambos os lados da equação:
integral ddx ( raizx^2 - 9 cdot y ) dx = integral 0 dx
Isso simplifica para:
raizx^2 - 9 cdot y = C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y = Craizx^2 - 9 para encontrar a solução geral da equação diferencial:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y0 = Craiz5^2 - 9 = Craiz25 - 9 = C4 para determinar a constante C = 4 y0 :
Multiplicando ambos os lados por 4:

Resposta

A solução do PVI é:
y = 4 y0raizx^2 - 9

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