Resolva o
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) de uma equação diferencial de primeira ordem. A equação dada é:
Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares para encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição inicial fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação diferencial para deixá-la no formato padrão das equações lineares de primeira ordem:
Dividindo toda a equação original por
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante (
) que vai nos ajudar a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Calculando a integral de
:
Fazendo uma substituição simples, seja
, então
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação de modo que o lado esquerdo se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados da equação:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolando
para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para determinar a constante
:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Resposta
A solução do PVI é: