Em cada item abaixo, determine os valores
tais que
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(f)
.
(f)
Passo 1
A questão é aplicar o Teorema de Rolle ou, mais precisamente, o Teorema do Valor Médio: existe c∈(a,b) tal que f′©=(f(b)−f(a))/(b−a). Aqui f(x)=(x−1)/(x+1), com b>a>1. Vamos precisar calcular f′(x) e o quociente (f(b)−f(a))/(b−a).
Passo 2
Calculamos primeiro a derivada de f usando a regra do quociente: se f(x)=u(x)/v(x), então f′(x)=(u′v−uv′)/v². No nosso caso u(x)=x−1 e v(x)=x+1, logo u′(x)=1 e v′(x)=1. Portanto:
Passo 3
Agora calculamos o quociente médio:
Passo 4
Para subtrair as frações fazemos denominador comum (b+1)(a+1):
Passo 5
Dividindo por (b−a) obtemos:
Passo 6
Igualamos f′© ao quociente:
Passo 7
Cancelando 2 e invertendo, vem:
Passo 8
Daí c+1=±\sqrt{(b+1)(a+1)}, dando c=-1±\sqrt{(b+1)(a+1)}. Como a>1>b>1, o único c em (a,b) é c=-1+\sqrt{(b+1)(a+1)}.
Esse valor satisfaz a< c< b, fechando o problema.
Esse valor satisfaz a< c< b, fechando o problema.
Resposta
c=-1+\sqrt{(a+1)(b+1)}