Em cada item abaixo, determine os valores c tais que f^prime(c)=f(b)-f(a)b-a.
(f) f(x)=x-1x+1, b>a>1.

Passo 1

A questão é aplicar o Teorema de Rolle ou, mais precisamente, o Teorema do Valor Médio: existe c∈(a,b) tal que f′©=(f(b)−f(a))/(b−a). Aqui f(x)=(x−1)/(x+1), com b>a>1. Vamos precisar calcular f′(x) e o quociente (f(b)−f(a))/(b−a).

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada de f usando a regra do quociente: se f(x)=u(x)/v(x), então f′(x)=(u′v−uv′)/v². No nosso caso u(x)=x−1 e v(x)=x+1, logo u′(x)=1 e v′(x)=1. Portanto:
f(x)=(1)(x+1)-(x-1)(1)(x+1)^2=x+1-x+1(x+1)^2=2(x+1)^2

Passo 3

Agora calculamos o quociente médio:
f(b)-f(a)b-a=b-1b+1-a-1a+1b-a

Passo 4

Para subtrair as frações fazemos denominador comum (b+1)(a+1):
(b-1)(a+1)-(a-1)(b+1)(b+1)(a+1) =ba+b-a-1-(ab+a-b-1)(b+1)(a+1) =2(b-a)(b+1)(a+1)

Passo 5

Dividindo por (b−a) obtemos:
f(b)-f(a)b-a=2(b-a)(b+1)(a+1)(b-a)=2(b+1)(a+1)

Passo 6

Igualamos f′© ao quociente:
2(c+1)^2=2(b+1)(a+1)

Passo 7

Cancelando 2 e invertendo, vem:
(c+1)^2=(b+1)(a+1)

Passo 8

Daí c+1=±\sqrt{(b+1)(a+1)}, dando c=-1±\sqrt{(b+1)(a+1)}. Como a>1>b>1, o único c em (a,b) é c=-1+\sqrt{(b+1)(a+1)}.
Esse valor satisfaz a< c< b, fechando o problema.

Resposta

c=-1+\sqrt{(a+1)(b+1)}

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