Em cada item abaixo, determine os valores
tais que
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(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para achar, no contexto do Teorema do Valor Médio, o ponto c em (a,b) tal que \ f’©=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} para f(x)=\sqrt{x}, a=1/2 e b=3/2. Vamos usar que f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), garantindo a existência de c.
Passo 2
Primeiro calculamos f(a) e f(b) e a inclinação da secante.
$$
f(a)=\sqrt{\tfrac12}=\tfrac{\sqrt2}{2}, \quad f(b)=\sqrt{\tfrac32}=\tfrac{\sqrt6}{2},
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{\tfrac{\sqrt6}{2}-\tfrac{\sqrt2}{2}}{1}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2}. $$
Passo 3
Derivamos f(x)=\sqrt{x} para obter
$$
f’(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
\frac{1}{2\sqrt{c}}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2}. $$
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por 2 e invertendo:
$$
\frac{1}{\sqrt{c}}=\sqrt6-\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{c}=\frac{1}{\sqrt6-\sqrt2}.
\sqrt{c}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{(\sqrt6-\sqrt2)(\sqrt6+\sqrt2)}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.
c=\Bigl(\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\Bigr)^2=\frac{6+2+4\sqrt3}{16}=\frac{2+\sqrt3}{4}. $$
Note que numericamente c≈0{,}933 está mesmo em (0{,}5,1{,}5), como exigido.
Note que numericamente c≈0{,}933 está mesmo em (0{,}5,1{,}5), como exigido.