Resolva o PVI dado pela EDO separável
\left\{\begin{aligned} y^{\prime} & =\frac{2-e^{x}}{3+2 y} \\ y(0) & =0 \end{aligned}\right.

Passo 1

O problema nos dá o problema de valor inicial (PVI) abaixo e pede a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial:
\left\{\begin{aligned} y^{\prime} & =\frac{2-e^{x}}{3+2 y} \\\ y(0) & =0 \end{aligned}\right.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação diferencial é \;y'=\dfrac{2-e^{x}}{3+2y}\;.
  • A condição inicial é \;y(0)=0\;.
  • Precisamos encontrar a função y(x) que satisfaz ambas.

Passo 2

Interpretação e separação de variáveis. Primeiro lembramos que y'=\dfrac{dy}{dx}. A equação dada é uma equação separável porque podemos agrupar termos em y com dy e termos em x com dx. Partimos de
\frac{dy}{dx}=\frac{2-e^{x}}{3+2y}.
Multiplicando ambos os lados por (3+2y)\,dx obtemos
(3+2y)\,dy=(2-e^{x})\,dx.
Agora as variáveis estão separadas: todo o lado esquerdo depende somente de y e o direito somente de x. Em seguida integramos ambos os lados.

Passo 3

Integração e antiderivadas. Integramos as duas expressões indefinidamente:
\int (3+2y)\,dy=\int (2-e^{x})\,dx.
Vamos calcular cada integral com calma:
\int 3\,dy=3y,\quad \int 2y\,dy=2\cdot\frac{y^{2}}{2}=y^{2},
logo o lado esquerdo dá 3y+y^{2}. Do lado direito,
\int 2\,dx=2x,\quad \int e^{x}\,dx=e^{x},
logo o lado direito dá 2x-e^{x}. Incluímos uma constante arbitrária de integração C. Assim obtemos a solução implícita
y^{2}+3y=2x-e^{x}+C.

Passo 4

Determinação da constante usando a condição inicial. Substituímos x=0 e y(0)=0 na solução implícita para achar C:
0^{2}+3\cdot 0 = 2\cdot 0 - e^{0} + C \quad\Rightarrow\quad 0 = 0 - 1 + C.
Portanto
C=1.
A solução implícita particular fica
y^{2}+3y=2x-e^{x}+1.

Passo 5

Resolver explicitamente para y. A equação acima é um polinómio quadrático em y. Escrevemos
y^{2}+3y-\bigl(2x-e^{x}+1\bigr)=0.
Aplicamos a fórmula quadrática para ay^{2}+by+c=0 com a=1, b=3, c=-(2x-e^{x}+1):
y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{9-4\cdot1\cdot\bigl(-\!(2x-e^{x}+1)\bigr)}}{2}.
Simplificando o discriminante:
9-4\bigl(-2x+e^{x}-1\bigr)=9+8x-4e^{x}+4=13+8x-4e^{x}.
Logo
y=\frac{-3\pm\sqrt{13+8x-4e^{x}}}{2}.

Passo 6

Escolha do sinal correto usando a condição inicial. Verificamos qual dos sinais \pm produz y(0)=0. Para x=0 o radicando vale
13+8\cdot 0-4e^{0}=13-4=9,\quad \sqrt{9}=3.
Com o sinal + temos
y(0)=\frac{-3+3}{2}=0,
que bate com a condição inicial. Com o sinal - obteríamos \dfrac{-3-3}{2}=-3, que não é aceitável. Então escolhemos o sinal +.

Resposta

y(x)=\frac{-3+\sqrt{13+8x-4e^{x}}}{2}

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