Considere a seguinte equação diferencial e^{x^{3}}+\operatorname{sen}(y)+\left(\frac{x}{3} \cos (y)\right) y^{\prime}=0.
a) Mostre que não exata.
b) Encontre um fator integrante F=F(x) para torná-la exata.
c) Encontre a solução geral.
d) Para qual valor da constante, temos $y(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
e^{x^{3}}+\operatorname{sen}(y)+\left(\frac{x}{3}\cos(y)\right)y'=0
e pede:
a) Mostrar que a equação não é exata.
b) Encontrar um fator integrante F=F(x) que torne a equação exata.
c) Encontrar a solução geral.
d) Determinar o valor da constante que satisfaz y(0)=0.
Informações relevantes que temos (explicitando a forma padrão):
  • Podemos escrever a equação na forma M(x,y)+N(x,y)y'=0 ou, equivalentemente, como uma forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
  • Os termos que aparecem são funções de x e y envolvendo e^{x^3}, \sin(y) e \cos(y).
    A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Definição útil (aula rápida sobre exatidão): uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad\frac{\partial \Psi}{\partial y}=N.
Uma condição prática: se M e N têm derivadas parciais contínuas, a equação é exata quando
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Identificamos M e N a partir da forma dada:
M(x,y)=e^{x^{3}}+\sin(y),\qquad N(x,y)=\frac{x}{3}\cos(y).
Calculemos as parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\cos(y)
porque a derivada de \sin(y) em relação a y é \cos(y), e e^{x^3} é considerado constante quando derivamos em y.
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{1}{3}\cos(y)
porque \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{3}\cos(y)\right)=\frac{1}{3}\cos(y) (tratando \cos(y) como constante ao derivar em x).
Comparando,
\frac{\partial M}{\partial y}=\cos(y)\quad\text{e}\quad\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{1}{3}\cos(y),
logo \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x (a menos que \cos(y)=0 pontualmente), então a equação NÃO é exata globalmente. Isso responde o item (a).

Passo 3

Queremos um fator integrante F que dependa somente de x, isto é F(x)=\mu(x). Vou ensinar como encontrar \mu(x):
Se multiplicarmos a equação por \mu(x) obtemos a nova forma
\mu(x)M(x,y)\,dx+\mu(x)N(x,y)\,dy=0,
que será exata se
\frac{\partial}{\partial y}\big(\mu M\big)=\frac{\partial}{\partial x}\big(\mu N\big).
Como \mu depende só de x, tem-se
\mu\frac{\partial M}{\partial y}=\mu'\,N+\mu\frac{\partial N}{\partial x}.
Dividindo por \mu (assumindo \mu\neq0) obtemos a condição
\frac{\mu'}{\mu}=\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}.
O lado direito deve depender só de x para que exista uma \mu função apenas de x. Portanto, nós calculamos esse quociente com as derivadas já encontradas.

Passo 4

Calculemos o quociente da fórmula anterior usando os M e N dados.
Já temos
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=\cos(y)-\frac{1}{3}\cos(y)=\frac{2}{3}\cos(y).
E
N(x,y)=\frac{x}{3}\cos(y).
Portanto
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{\frac{2}{3}\cos(y)}{\frac{x}{3}\cos(y)}.
Observação: aqui a \cos(y) cancela (exceto nos pontos onde \cos(y)=0, mas estamos buscando a forma geral), assim
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{2}{x}.
Logo a equação para \mu é
\frac{\mu'}{\mu}=\frac{2}{x}.
Isto é uma equação diferencial separável para \mu. Integramos com respeito a x:
\frac{d}{dx}\ln(\mu)=\frac{2}{x}\quad\Rightarrow\quad \ln(\mu)=2\ln|x|+C.
Exponenciando,
\mu(x)=C_1 x^{2}.
Podemos escolher C_1=1 (constante multiplicativa não afeta a exatidão), então tomamos o fator integrante
F(x)=\mu(x)=x^{2}.
Isso responde o item (b).

Passo 5

Multiplicamos a equação original por x^{2}. A forma diferencial torna-se
\big(x^{2}e^{x^{3}}+x^{2}\sin(y)\big)\,dx+\big(\frac{x^{3}}{3}\cos(y)\big)\,dy=0.
Chame
\widetilde{M}(x,y)=x^{2}e^{x^{3}}+x^{2}\sin(y),\qquad \widetilde{N}(x,y)=\frac{x^{3}}{3}\cos(y).
Verifiquemos exatidão:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=x^{2}\cos(y),
\frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x^{3}}{3}\cos(y)\right)=x^{2}\cos(y).
Como as duas parciais coincidem, a equação multiplicada por x^{2} é exata. Ótimo — agora vamos achar a função potencial.

Passo 6

Procuramos \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=\widetilde{M}=x^{2}e^{x^{3}}+x^{2}\sin(y).
Integramos essa igualdade em relação a x, tratando y como constante durante a integração.
Primeiro termo: \displaystyle \int x^{2}e^{x^{3}}\,dx. Use substituição u=x^{3}\Rightarrow du=3x^{2}dx, então x^{2}dx=\frac{1}{3}du. Assim
\int x^{2}e^{x^{3}}\,dx=\frac{1}{3}e^{x^{3}}.
Segundo termo: \displaystyle \int x^{2}\sin(y)\,dx. Aqui \sin(y) é constante na integração em x, então
\int x^{2}\sin(y)\,dx=\sin(y)\int x^{2}\,dx=\sin(y)\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}\sin(y).
Somando e incluindo uma função arbitrária de y, obtemos
\Psi(x,y)=\frac{1}{3}e^{x^{3}}+\frac{x^{3}}{3}\sin(y)+h(y),
onde h(y) é uma função de y (constante em x).

Passo 7

Imponha agora a condição \partial\Psi/\partial y=\widetilde{N}. Calculemos:
\frac{\partial \Psi}{\partial y}=\frac{x^{3}}{3}\cos(y)+h'(y).
Devemos ter
\frac{\partial \Psi}{\partial y}=\widetilde{N}=\frac{x^{3}}{3}\cos(y).
Comparando, vemos que
h'(y)=0\quad\Rightarrow\quad h(y)=\text{constante}.
Portanto a função potencial (até constante) é
\Psi(x,y)=\frac{1}{3}e^{x^{3}}+\frac{x^{3}}{3}\sin(y).
A solução implícita geral da equação exata é \Psi(x,y)=C, ou seja
\frac{1}{3}e^{x^{3}}+\frac{x^{3}}{3}\sin(y)=C.
Multiplicando por 3 para simplificar, obtemos a forma mais agradável da solução geral:
e^{x^{3}}+x^{3}\sin(y)=C.
Isto responde o item (c).

Passo 8

Finalmente aplicamos a condição inicial y(0)=0 (item d). Substituímos x=0 e y=0 na solução geral:
e^{0}+0^{3}\sin(0)=C \quad\Rightarrow\quad 1+0=C.
Logo C=1.
Isso responde o item (d): a constante vale 1 para a condição dada.

Resposta

a) A equação não é exata.
b) F(x)=x^{2}.
c) Solução geral: e^{x^{3}}+x^{3}\sin(y)=C.
d) Para y(0)=0 temos C=1.

Exercícios relacionados