Considere a seguinte equação diferencial
.
a) Mostre que não exata.
b) Encontre um fator integrante
para torná-la exata.
c) Encontre a solução geral.
d) Para qual valor da constante, temos $y(0)=0.
a) Mostre que não exata.
b) Encontre um fator integrante
c) Encontre a solução geral.
d) Para qual valor da constante, temos $y(0)=0.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede:
a) Mostrar que a equação não é exata.
b) Encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
c) Encontrar a solução geral.
d) Determinar o valor da constante que satisfaz .
a) Mostrar que a equação não é exata.
b) Encontrar um fator integrante
c) Encontrar a solução geral.
d) Determinar o valor da constante que satisfaz
Informações relevantes que temos (explicitando a forma padrão):
- Podemos escrever a equação na forma
ou, equivalentemente, como uma forma diferencial . - Os termos que aparecem são funções de
e envolvendo , e .
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Definição útil (aula rápida sobre exatidão): uma equação
é exata se existe uma função
tal que
Uma condição prática: se
e
têm derivadas parciais contínuas, a equação é exata quando
Identificamos
e
a partir da forma dada:
Calculemos as parciais:
porque a derivada de
em relação a
é
, e
é considerado constante quando derivamos em
.
porque
(tratando
como constante ao derivar em
).
Comparando,
logo
(a menos que
pontualmente), então a equação NÃO é exata globalmente. Isso responde o item (a).
Passo 3
Queremos um fator integrante
que dependa somente de
, isto é
. Vou ensinar como encontrar
:
Se multiplicarmos a equação por
obtemos a nova forma
que será exata se
Como
depende só de
, tem-se
Dividindo por
(assumindo
) obtemos a condição
O lado direito deve depender só de
para que exista uma
função apenas de
. Portanto, nós calculamos esse quociente com as derivadas já encontradas.
Passo 4
Calculemos o quociente da fórmula anterior usando os
e
dados.
Já temos
E
Portanto
Observação: aqui a
cancela (exceto nos pontos onde
, mas estamos buscando a forma geral), assim
Logo a equação para
é
Isto é uma equação diferencial separável para
. Integramos com respeito a
:
Exponenciando,
Podemos escolher
(constante multiplicativa não afeta a exatidão), então tomamos o fator integrante
Isso responde o item (b).
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
. A forma diferencial torna-se
Chame
Verifiquemos exatidão:
Como as duas parciais coincidem, a equação multiplicada por
é exata. Ótimo — agora vamos achar a função potencial.
Passo 6
Procuramos
tal que
Integramos essa igualdade em relação a
, tratando
como constante durante a integração.
Primeiro termo:
. Use substituição
, então
. Assim
Segundo termo:
. Aqui
é constante na integração em
, então
Somando e incluindo uma função arbitrária de
, obtemos
onde
é uma função de
(constante em
).
Passo 7
Imponha agora a condição
. Calculemos:
Devemos ter
Comparando, vemos que
Portanto a função potencial (até constante) é
A solução implícita geral da equação exata é
, ou seja
Multiplicando por
para simplificar, obtemos a forma mais agradável da solução geral:
Isto responde o item (c).
Passo 8
Finalmente aplicamos a condição inicial
(item d). Substituímos
e
na solução geral:
Logo
.
Isso responde o item (d): a constante vale
para a condição dada.
Resposta
a) A equação não é exata.
b) .
c) Solução geral: .
d) Para temos
.
b)
c) Solução geral:
d) Para