Resolva o PVI dado pela equação separável.
Passo 1
Beleza, vamos descobrir o que o enunciado quer. Temos um PVI (Problema de Valor Inicial) que é uma EDO separável:
Conteúdo da matéria: equações diferenciais de variáveis separáveis. A gente vai precisar separar
e
em lados diferentes e depois integrar cada um desses lados.
Passo 2
Separation of variables! A ideia é escrever todos os
de um lado e todos os
do outro. Começamos com
Multiplicamos ambos os lados por
:
Agora ficou assim: no lado esquerdo só
, no direito só
.
Passo 3
Integramos cada lado. Teoria: quando escrevemos
, do lado direito usamos integração por partes.
- Lado esquerdo:
- Lado direito: seja
e . Então e . Pela fórmula
, temos
Juntando e simplificando as constantes (
), dá
Multiplicando tudo por 2:
Passo 4
Agora usamos a condição inicial
. Substituindo
e
em
ficamos com
Resposta
escolhendo o sinal positivo para satisfazer
.