Resolva o PVI dado pela equação separável.

Passo 1

Beleza, vamos descobrir o que o enunciado quer. Temos um PVI (Problema de Valor Inicial) que é uma EDO separável:
dydx = xln(x)y, y(1)=1
Conteúdo da matéria: equações diferenciais de variáveis separáveis. A gente vai precisar separar e em lados diferentes e depois integrar cada um desses lados.

Passo 2

Separation of variables! A ideia é escrever todos os dydx = xln(x)y de um lado e todos os y,dy = xln(x),dx do outro. Começamos com
Multiplicamos ambos os lados por :
Agora ficou assim: no lado esquerdo só , no direito só .

Passo 3

Integramos cada lado. Teoria: quando escrevemos integral y,dy = y^22 + C1 , do lado direito usamos integração por partes.
  1. Lado esquerdo:
integral xln(x),dx = x^22ln(x) - integral x^22cdot1x,dx = x^22ln(x) - integral x2,dx = x^22ln(x) - x^24 + C2
  1. Lado direito: seja y^22 = x^22ln(x) - x^24 + C e y^2 = x^2ln(x) - x^22 + C' . Então e . Pela fórmula
    , temos
Juntando e simplificando as constantes ( ), dá
Multiplicando tudo por 2:

Passo 4

Agora usamos a condição inicial y^2 = x^2ln(x) - tfracx^22 + C', . Substituindo 1^2 = 1^2ln(1) - tfrac1^22 + C' ;Longrightarrow; 1 = 0 - tfrac12 + C' ;Longrightarrow; C' = tfrac32 e em
ficamos com

Resposta

boxedy(x) = raizx^2ln(x) - tfracx^22 + tfrac32,
escolhendo o sinal positivo para satisfazer .

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