Resolva o PVI, determinando a solução particular correspondente:
x^{2} \frac{d y}{d x}-2 x y=3 y^{4} ; y(1)=\frac{1}{2}
x^{2} \frac{d y}{d x}-2 x y=3 y^{4} ; y(1)=\frac{1}{2}
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
com a condição inicial
Pergunta: encontrar a solução particular do problema de valor inicial acima (ou seja, a solução
que satisfaz a EDO e passa por
).
Informações relevantes: a equação está definida para (pois há divisões por
quando a rearranjarmos). Não há figura nem tabela adicional.
Informações relevantes: a equação está definida para
Passo 2
Vamos escrever a EDO numa forma padrão mais fácil de manipular. Dividindo toda a equação por
(assumindo
) obtemos:
Aqui temos uma equação de primeira ordem não linear por causa do termo
. Uma técnica padrão para esse tipo de equação (quando aparece
) é a substituição do tipo Bernoulli. A ideia (explicando devagar) é transformar a equação em uma equação linear por meio da variável
onde
é o expoente do termo não linear. No nosso caso
, então escolhemos
Agora vou mostrar passo a passo como essa substituição lineariza a equação.
Passo 3
Calcule a derivada de
em função de
e
. Como
, temos
Isolando
obtemos
Agora trabalhando com a equação obtida em
(veja passo 2)
dividimos ambos os membros por
(assumindo
para a manipulação; depois checaremos consistência com a condição inicial) para usar a relação acima:
Substituindo
e
chegamos à equação linear para
:
Multiplicando tudo por
para ficar na forma usual
, obtemos
Passo 4
Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem
Explico o método do fator integrante: para uma equação
o fator integrante é
Aqui
, então
Como a condição inicial usa
, podemos trabalhar com
(ou seja, considerar
) para simplificar. Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, então
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isolando
temos
Lembrando que
, vêm:
É útil escrever isso com denominador comum:
Podemos inverter a potência para obter
. Antes, vamos determinar
usando a condição inicial.
Passo 6
Usamos
. Calcule
em
:
Substituindo
na expressão de
obtemos
Logo
Substituindo
de volta em
:
Invertendo o cubo:
Portanto
Note: como usamos
no fator integrante, a solução acima é válida para
enquanto o denominador
. Para
a expressão é bem definida e dá
, como pedido.