Resolva o PVI, determinando a solução particular correspondente:
x^{2} \frac{d y}{d x}-2 x y=3 y^{4} ; y(1)=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
x^{2}\frac{dy}{dx}-2xy=3y^{4},
com a condição inicial
y(1)=\tfrac{1}{2}.
Pergunta: encontrar a solução particular do problema de valor inicial acima (ou seja, a solução y(x) que satisfaz a EDO e passa por y(1)=\tfrac{1}{2}).
Informações relevantes: a equação está definida para x\neq 0 (pois há divisões por x quando a rearranjarmos). Não há figura nem tabela adicional.

Passo 2

Vamos escrever a EDO numa forma padrão mais fácil de manipular. Dividindo toda a equação por x^{2} (assumindo x\neq 0) obtemos:
\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y=\frac{3}{x^{2}}y^{4}.
Aqui temos uma equação de primeira ordem não linear por causa do termo y^{4}. Uma técnica padrão para esse tipo de equação (quando aparece y^{n}) é a substituição do tipo Bernoulli. A ideia (explicando devagar) é transformar a equação em uma equação linear por meio da variável
u=y^{1-n},
onde n é o expoente do termo não linear. No nosso caso n=4, então escolhemos
u=y^{1-4}=y^{-3}.
Agora vou mostrar passo a passo como essa substituição lineariza a equação.

Passo 3

Calcule a derivada de u em função de y e dy/dx. Como u=y^{-3}, temos
\frac{du}{dx}=-3y^{-4}\frac{dy}{dx}.
Isolando y^{-4}\frac{dy}{dx} obtemos
y^{-4}\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{3}\frac{du}{dx}.
Agora trabalhando com a equação obtida em x (veja passo 2)
\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y=\frac{3}{x^{2}}y^{4},
dividimos ambos os membros por y^{4} (assumindo y\neq 0 para a manipulação; depois checaremos consistência com a condição inicial) para usar a relação acima:
y^{-4}\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y^{-3}=\frac{3}{x^{2}}.
Substituindo y^{-4}\frac{dy}{dx}=-\tfrac{1}{3}u' e y^{-3}=u chegamos à equação linear para u:
-\frac{1}{3}\frac{du}{dx}-\frac{2}{x}u=\frac{3}{x^{2}}.
Multiplicando tudo por -3 para ficar na forma usual u'+P(x)u=Q(x), obtemos
\frac{du}{dx}+\frac{6}{x}u=-\frac{9}{x^{2}}.

Passo 4

Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem
\frac{du}{dx}+\frac{6}{x}u=-\frac{9}{x^{2}}.
Explico o método do fator integrante: para uma equação u'+P(x)u=Q(x) o fator integrante é
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Aqui P(x)=6/x, então
\mu(x)=e^{\int \frac{6}{x}\,dx}=e^{6\ln|x|}=|x|^{6}.
Como a condição inicial usa x=1>0, podemos trabalhar com x^{6} (ou seja, considerar x>0) para simplificar. Multiplicando a equação por x^{6} obtemos
x^{6}\frac{du}{dx}+6x^{5}u=-9x^{4}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x^{6}u, então
\frac{d}{dx}\bigl(x^{6}u\bigr)=-9x^{4}.
Integramos ambos os lados em relação a x:
x^{6}u=\int -9x^{4}\,dx=-9\cdot\frac{x^{5}}{5}+C=-\frac{9}{5}x^{5}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando u temos
u=-\frac{9}{5}x^{-1}+C x^{-6}.
Lembrando que u=y^{-3}, vêm:
y^{-3}=-\frac{9}{5x}+C x^{-6}.
É útil escrever isso com denominador comum:
y^{-3}=\frac{-9x^{5}+5C}{5x^{6}}.
Podemos inverter a potência para obter y. Antes, vamos determinar C usando a condição inicial.

Passo 6

Usamos y(1)=\tfrac{1}{2}. Calcule y^{-3} em x=1:
y(1)^{-3}=\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{-3}=2^{3}=8.
Substituindo x=1 na expressão de y^{-3} obtemos
8=-\frac{9}{5\cdot 1}+C\cdot 1^{-6}=-\frac{9}{5}+C.
Logo
C=8+\frac{9}{5}=\frac{40}{5}+\frac{9}{5}=\frac{49}{5}.
Substituindo C de volta em y^{-3}:
y^{-3}=-\frac{9}{5x}+\frac{49}{5}x^{-6}=\frac{-9x^{5}+49}{5x^{6}}.
Invertendo o cubo:
y^{3}=\frac{5x^{6}}{-9x^{5}+49}=\frac{5x^{6}}{49-9x^{5}}.
Portanto
y(x)=\left(\frac{5x^{6}}{49-9x^{5}}\right)^{1/3}.
Note: como usamos x>0 no fator integrante, a solução acima é válida para x>0 enquanto o denominador 49-9x^{5}\neq 0. Para x=1 a expressão é bem definida e dá y(1)=\tfrac{1}{2}, como pedido.

Resposta

y(x)=\left(\frac{5x^{6}}{49-9x^{5}}\right)^{1/3}

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