Resolva o PVI, determinando a solução particular correspondente: \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x} ; \quad y(1)=3
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x},
com a condição inicial
y(1)=3.
O que precisamos encontrar é a solução particular (a função y(x)) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Observando a equação, ela pode ser resolvida por separação de variáveis (um método simples e direto). A ideia da separação de variáveis é rearranjar a equação para colocar todos os termos que dependem de y de um lado e todos os termos que dependem de x do outro, de modo que possamos integrar ambos os lados. Um cuidado: não podemos dividir por y se y=0; a função y\equiv0 é uma solução especial (trivial). Como a condição inicial dá y(1)=3\neq0, a solução que procuramos não é a trivial.
Passo 3
Façamos a separação de variáveis. A equação é
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}.
Supondo y\neq0, dividimos ambos os lados por y e multiplicamos por dx:
\frac{1}{y}\,dy = \frac{1}{x}\,dx.
Agora temos os y do lado esquerdo e os x do lado direito, prontos para integrar.
Passo 4
Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{1}{x}\,dx.
As integrais são logaritmos naturais (lembrando que a integral de 1/t é \ln|t|):
\ln|y| = \ln|x| + C,
onde C é a constante de integração. Aqui explique: o valor absoluto aparece porque a função logaritmo natural exige argumento positivo, e a primitiva de 1/t é \ln|t|.
Passo 5
Transformamos a expressão para isolar y. Subtraindo \ln|x| dos dois lados:
\ln\!\left|\frac{y}{x}\right| = C.
Exponenciando ambos os lados,
\left|\frac{y}{x}\right| = e^{C}.
Como e^{C} é uma constante positiva, podemos escrever e^{C}=K com K>0. A equação com valor absoluto dá duas possibilidades y/x = K ou y/x = -K, mas podemos absorver o sinal em uma constante arbitrária C_1 que pode ser qualquer número real (positivo, negativo ou zero). Assim a forma geral da solução é
y = C_1 x,
onde C_1 é uma constante real arbitrária. (Observação: isso também inclui a solução trivial y\equiv0 quando C_1=0.)
Passo 6
Agora aplicamos a condição inicial y(1)=3. Substituindo x=1 e y=3 na forma geral:
3 = C_1 \cdot 1,
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C_1 = 3.
Passo 7
Substituindo C_1=3 na solução geral obtemos a solução particular desejada:
y(x) = 3x.
Comentário sobre domínio: como a equação original tem termo \frac{1}{x}, a solução está definida para x\neq0. A condição inicial em x=1 indica que a solução particular válida no entorno de 1 é definida para x>0 (ou, se preferir, em qualquer intervalo que não contenha 0 e contenha 1).