Resolva o PVI, determinando a solução particular correspondente:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
com a condição inicial
O que se pede: determinar a solução particular da equação diferencial que satisfaça
. Listei aqui as informações essenciais: a equação diferencial em forma diferencial e a condição inicial; a solução particular é a solução única que satisfaz essa condição.
Passo 2
Colocar a equação em forma
facilita escolher método. Primeiro passo algébrico: passar o termo com
para o outro lado e dividir por
:
Dividindo ambos os lados por
e por
(assumindo
e
não nulos no domínio considerado), obtemos
Passo 3
Simplificar a razão à direita para ver dependência em
e
. No numerador e denominador há um fator comum
, então
Observação prática: quando a razão
depende só da razão
ou de
através de
, a substituição
costuma resolver. Aqui, de fato, escrevendo
a expressão à direita fica função de
:
Passo 4
Fazer a substituição
. Então
. Pelo regra do produto (derivada de
):
Substituindo na equação diferencial obtida:
Passo 5
Isolar
e obter uma equação separável. Subtraindo
de ambos os lados:
Fazer a subtração no lado direito com cuidado:
Logo
ou
Passo 6
Separar variáveis: colocar todos os termos em
com
e os termos em
com
:
Observação prática:
, o que facilita a integração.
Passo 7
Integrar ambos os lados. À esquerda:
À direita:
onde
é constante de integração. Igualando:
Passo 8
Reescrever a solução de forma mais compacta e retornar à variável original
. Somando
a ambos os lados:
Usar
e lembrar que
implica
. Além disso
. Assim obtemos a forma implícita geral da solução:
Passo 9
Aplicar a condição inicial
para determinar a constante
. Substituindo
e
na expressão implícita:
logo
.
Passo 10
Escrever a solução particular final (implícita) usando o valor de
:
Observação final: essa expressão define
implicitamente em função de
. Isolar
de forma explícita exigiria resolver uma equação transcendental (
), que não tem solução elementar; portanto a forma implícita acima é a solução particular adequada.