Resolva o PVI, determinando a solução particular correspondente:
\left\{\begin{array}{l}\left(x y^{2}+x^{2} y\right) d y-x y^{2} d x=0 \\\ y(6)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
\left(x y^{2}+x^{2} y\right) d y - x y^{2} d x = 0
com a condição inicial
y(6)=1.
O que se pede: determinar a solução particular da equação diferencial que satisfaça \;y(6)=1. Listei aqui as informações essenciais: a equação diferencial em forma diferencial e a condição inicial; a solução particular é a solução única que satisfaz essa condição.

Passo 2

Colocar a equação em forma \dfrac{dy}{dx} = \text{algo} facilita escolher método. Primeiro passo algébrico: passar o termo com dx para o outro lado e dividir por dx:
\left(x y^{2}+x^{2} y\right)\,dy = x y^{2}\,dx.
Dividindo ambos os lados por dx e por \left(x y^{2}+x^{2} y\right) (assumindo x e y não nulos no domínio considerado), obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{x y^{2}}{x y^{2}+x^{2} y}.

Passo 3

Simplificar a razão à direita para ver dependência em x e y. No numerador e denominador há um fator comum x y, então
\frac{dy}{dx} = \frac{x y^{2}}{x y^{2}+x^{2} y} = \frac{x y^{2}}{x y (y+x)} = \frac{y}{y+x}.
Observação prática: quando a razão \dfrac{dy}{dx} depende só da razão y/x ou de x,y através de y/x, a substituição v=\dfrac{y}{x} costuma resolver. Aqui, de fato, escrevendo v=\dfrac{y}{x} a expressão à direita fica função de v:
\frac{y}{y+x}=\frac{v}{1+v}.

Passo 4

Fazer a substituição v=\dfrac{y}{x}. Então y=vx. Pelo regra do produto (derivada de y=v(x)\cdot x):
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação diferencial obtida:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+v}.

Passo 5

Isolar \dfrac{dv}{dx} e obter uma equação separável. Subtraindo v de ambos os lados:
x\frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+v} - v.
Fazer a subtração no lado direito com cuidado:
\frac{v}{1+v} - v = v\!\left(\frac{1}{1+v} - 1\right) = v\!\left(\frac{1 - (1+v)}{1+v}\right) = v\!\left(\frac{-v}{1+v}\right) = -\frac{v^{2}}{1+v}.
Logo
x\frac{dv}{dx} = -\frac{v^{2}}{1+v},
ou
\frac{dv}{dx} = -\frac{v^{2}}{x(1+v)}.

Passo 6

Separar variáveis: colocar todos os termos em v com dv e os termos em x com dx:
\frac{1+v}{v^{2}}\,dv = -\frac{1}{x}\,dx.
Observação prática: \dfrac{1+v}{v^{2}} = v^{-2}+v^{-1}, o que facilita a integração.

Passo 7

Integrar ambos os lados. À esquerda:
\int\left(v^{-2}+v^{-1}\right)\,dv = \int v^{-2}\,dv + \int v^{-1}\,dv = -v^{-1} + \ln|v|.
À direita:
\int -\frac{1}{x}\,dx = -\ln|x| + C,
onde C é constante de integração. Igualando:
- \frac{1}{v} + \ln|v| = -\ln|x| + C.

Passo 8

Reescrever a solução de forma mais compacta e retornar à variável original y. Somando \ln|x| a ambos os lados:
\ln|v| + \ln|x| - \frac{1}{v} = C.
Usar \ln|v|+\ln|x|=\ln|xv| e lembrar que v=\dfrac{y}{x} implica xv=y. Além disso -\dfrac{1}{v} = -\dfrac{x}{y}. Assim obtemos a forma implícita geral da solução:
\ln|y| - \frac{x}{y} = C.

Passo 9

Aplicar a condição inicial \;y(6)=1 para determinar a constante C. Substituindo x=6 e y=1 na expressão implícita:
\ln|1| - \frac{6}{1} = C \quad\Rightarrow\quad 0 - 6 = C,
logo C=-6.

Passo 10

Escrever a solução particular final (implícita) usando o valor de C:
\ln|y| - \frac{x}{y} = -6.
Observação final: essa expressão define y implicitamente em função de x. Isolar y de forma explícita exigiria resolver uma equação transcendental ( y\ln y +6y = x), que não tem solução elementar; portanto a forma implícita acima é a solução particular adequada.

Resposta

\ln|y| - \dfrac{x}{y} = -6

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