resolva o PVI.
$
\frac{d y}{d x}=y(y+\operatorname{sen} x), \quad y(0)=1)
$
Passo 1
O enunciado dá o PVI
O conteúdo é de equações diferenciais exatas. Vamos escrever na forma
e verificar se é exata.
Passo 2
Reescrevendo,
Logo
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
e
. Integramos
em relação a
:
onde
é função só de
.
Passo 4
Agora impomos
. Calculamos
Da igualdade segue
logo
Portanto a primitiva é
Passo 5
A condição inicial
dá
Logo a constante
, e a solução implícita é