resolva o PVI.
$ \frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2 x y \frac{d y}{d x}=y(y+\operatorname{sen} x), \quad y(0)=1)

Passo 1

O enunciado dá o PVI
\Bigl(\frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2xy\Bigr)\frac{dy}{dx}=y\bigl(y+\sin x\bigr), \qquad y(0)=1.
O conteúdo é de equações diferenciais exatas. Vamos escrever na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
e verificar se é exata.

Passo 2

Reescrevendo,
\Bigl(\frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2xy\Bigr)\,dy - y\bigl(y+\sin x\bigr)\,dx=0.
Logo
M(x,y)=-y(y+\sin x)=-y^2 -y\sin x, \quad N(x,y)=\frac{1}{1+y^2}+\cos x-2xy.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=-\bigl(2y+\sin x\bigr), \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=-\sin x-2y.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos F(x,y) tal que F_x=M e F_y=N. Integramos M em relação a x:
F(x,y)=\int(-y^2 -y\sin x)\,dx =-y^2\,x +y\cos x +g(y),
onde g(y) é função só de y.

Passo 4

Agora impomos F_y=N. Calculamos
\frac{\partial F}{\partial y}=-2xy +\cos x +g'(y) \stackrel!=\frac{1}{1+y^2}+\cos x-2xy.
Da igualdade segue
g'(y)=\frac{1}{1+y^2},
logo
g(y)=\arctan y.
Portanto a primitiva é
F(x,y)=-x\,y^2 +y\cos x +\arctan y.

Passo 5

A condição inicial y(0)=1
F(0,1)=-0\cdot1^2 +1\cdot\cos0 +\arctan1 =1 + \frac{\pi}{4}.
Logo a constante C=1+\frac\pi4, e a solução implícita é
-x\,y^2 +y\cos x +\arctan y =1+\frac{\pi}{4}.

Resposta

-x\,y^2 +y\cos x +\arctan y =1+\frac{\pi}{4}.

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