Verifique a divergência das séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}+1}{2^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a divergência da série numérica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}+1}{2^{n+1}}.
O conteúdo é teste de convergência de séries, e vamos usar o teste necessário (termo geral deve tender a zero) para concluir.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral e calcular seu limite. Para isso note que
\frac{2^n+1}{2^{n+1}} = \frac{2^n}{2^{n+1}} + \frac{1}{2^{n+1}} = \frac12 + \frac{1}{2^{n+1}}.
Tomando n\to\infty temos
\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+1}{2^{n+1}} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac12 + \tfrac{1}{2^{n+1}}\Bigr) = \tfrac12 \neq 0.

Passo 3

Pelo teste necessário de convergência, se a série \sum a_n convergisse, teríamos \lim_{n\to\infty}a_n=0. Aqui o termo geral não tende a zero, logo a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral tende a \tfrac12\neq0.

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