Verifique a divergência das séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para verifi­car se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{2}+1}
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o teste da condição necessária de convergência de séries: se uma série infinita converge, então seu termo geral deve tender a zero quando n\to\infty.

Passo 2

Calculamos o limite do termo geral:
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\tfrac1{n^{2}}} =1.
Como esse limite não é zero, a condição necessária para convergência não é satisfeita. Logo, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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