Resolva o PVI
Passo 1
O enunciado pede resolver o PVI linear X′=AX com A constante e X(0) dado. O conteúdo é sistemas lineares com coeficientes constantes e vamos usar a ideia de matriz exponencial: X(t)=e^{At}X(0).
Passo 2
Escrevemos A=I+B, onde I é a identidade e B=A−I. Como os autovalores de A são 1,1±i, os de B são 0,±i, e valem B(B^2+I)=0, logo B^3=−B.
Passo 3
Usando a série de Taylor de e^{Bt} e a relação B^3=−B, agrupamos em potências de B:
Passo 4
Como X(t)=e{t}e{Bt}X(0), vamos calcular e^{Bt}X(0). Seja X(0)=(0,1,1)^T. Primeiro
e
Passo 5
Então
Passo 6
Isso dá componentes: Y_1=\sin t, Y_2=\cos t, Y_3=\cos t. Por fim