Resolva o PVI lX^prime=[ccc1 & -1 & 2 -1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1] X X(0)=[l0 1 1]

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI linear X′=AX com A constante e X(0) dado. O conteúdo é sistemas lineares com coeficientes constantes e vamos usar a ideia de matriz exponencial: X(t)=e^{At}X(0).

Passo 2

Escrevemos A=I+B, onde I é a identidade e B=A−I. Como os autovalores de A são 1,1±i, os de B são 0,±i, e valem B(B^2+I)=0, logo B^3=−B.

Passo 3

Usando a série de Taylor de e^{Bt} e a relação B^3=−B, agrupamos em potências de B:
e^Bt=I+Bsin t+B^2(1-cos t)

Passo 4

Como X(t)=e{t}e{Bt}X(0), vamos calcular e^{Bt}X(0). Seja X(0)=(0,1,1)^T. Primeiro
BX(0)=0&-1&2-1&0&0-1&0&0011=100,
e
B^2X(0)=l(B(BX(0))r)=-1&0&00&1&-20&1&-2011=0-1-1

Passo 5

Então
e^BtX(0)=X(0)+B X(0)sin t+B^2X(0)(1-cos t)=011+100sin t+0-1-1(1-cos t)

Passo 6

Isso dá componentes: Y_1=\sin t, Y_2=\cos t, Y_3=\cos t. Por fim
X(t)=e^t,e^BtX(0)=e^tsin tcos tcos t

Resposta

X(t)=e^tsin tcos tcos t

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