Resolva X^prime=[rr3 & 2 -2 & -1] X+[l2 1] e^-t pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 1

O exercício pede pra resolver o sistema de EDOs lineares de primeira ordem com coeficientes constantes e termo-Forcing do tipo exponencial:
Podemos escrever
X'(t)=A,X(t)+b,e^-t
onde
A=3 & 2 -2 & -1, b=21
O conteúdo principal é resolução de sistemas lineares por decomposição em solução homogênea mais particular, usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução homogênea Xh do sistema X'=A,X. Calculamos o polinômio característico de A:
det(lambda I - A)=lambda^2-2lambda+1=(lambda-1)^2=0
Então há valor próprio lambda=1 de multiplicidade 2. Um autovetor associado satisfaz
(A-I)v=0implies2&2-2&-2v=0
o que dá um autovetor v1=1-1.
Como a multiplicidade algébrica é 2 e geométrica 1, buscamos um vetor generalizado w que satisfaça
(A-I)w=v1
Resolvendo, por exemplo, escolhemos w=01/2.
Logo a solução homogênea geral é
Xh(t)=e^tl(C1,v1 + C2,(t,v1 + w)r)

Passo 3

Agora aplicamos o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular Xp do tipo v,e^-t. Substituímos no sistema:
Xp'=-v,e^-t,
e
A,Xp + b,e^-t=(A,v + b),e^-t
Igualando,
-v=(A,v + b)Longrightarrow (I + A)v = -b
Calculando I+A=4&2-2&0 e resolvendo
4&2-2&0v = -21 = -2-1
obtemos v=1/2-2. Assim
Xp(t)=1/2-2e^-t

Passo 4

Juntando a parte homogênea e a particular, a solução geral do sistema é
X(t)=Xh(t)+Xp(t) =e^tl(C1,1-1+C2,(t,1-1+01/2)r)+1/2-2e^-t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

X(t)=e^tl(C1,1-1+C2,(t,1-1+01/2)r)+1/2-2e^-t, onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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