Resolva
pelo método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
O exercício pede pra resolver o sistema de EDOs lineares de primeira ordem com coeficientes constantes e termo-Forcing do tipo exponencial:
Podemos escrever
Podemos escrever
onde
O conteúdo principal é resolução de sistemas lineares por decomposição em solução homogênea mais particular, usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução homogênea
do sistema
. Calculamos o polinômio característico de
:
Então há valor próprio
de multiplicidade 2. Um autovetor associado satisfaz
o que dá um autovetor
.
Como a multiplicidade algébrica é 2 e geométrica 1, buscamos um vetor generalizado que satisfaça
Como a multiplicidade algébrica é 2 e geométrica 1, buscamos um vetor generalizado
Resolvendo, por exemplo, escolhemos
.
Logo a solução homogênea geral é
Logo a solução homogênea geral é
Passo 3
Agora aplicamos o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular
do tipo
. Substituímos no sistema:
e
Igualando,
Calculando
e resolvendo
obtemos
. Assim
Passo 4
Juntando a parte homogênea e a particular, a solução geral do sistema é
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.