Resolva o PVI a seguir.
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial
com a condição inicial
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaça a equação diferencial dada e a condição inicial. Lista das informações importantes:
- A equação está escrita na forma
com e . - Existe uma condição inicial que fixa a constante de integração:
.
Passo 2
Vamos verificar se a equação é exata (isso nos dá um método direto). Uma equação
é exata se existe uma função potencial
tal que
O teste prático é comparar as derivadas parciais cruzadas:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Explicando o método (como fazer na prova): se a equação é exata, procuramos
integrando
em relação a
(tratando
como constante) e depois determinando a parte dependente só de
comparando com
. Isso evita resolver uma equação diferencial explícita complicada.
Passo 4
Integrar
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque na integração em
tratamos
como constante).
Passo 5
Agora impomos
. Calculamos
Igualando a
obtemos
Integramos em
:
onde
é uma constante real.
Passo 6
Portanto a função potencial geral é (até constante)
A solução implícita geral da equação diferencial é
Agora usamos a condição inicial
para determinar a constante. Avaliando em
:
Logo a constante vale
.
Passo 7
Se quisermos escrever a solução de forma explícita
, consideramos a equação quadrática em
:
Aplicando a fórmula quadrática para
:
Para escolher o ramo correto usamos a condição
. Substituindo
na expressão sob o sinal
obtemos
o que dá
(com o sinal
) ou
(com o sinal
). Como queremos
, escolhemos o sinal
. Assim a solução explícita que satisfaz a condição inicial é
Observação sobre domínio: a raiz exige
, isto é
. O ramo escolhido é contínuo perto de
, então essa é a solução correta no maior intervalo que contém
e onde a expressão é real.
Passo 8
Verificação rápida (como checar na prova): diferenciando implicitamente
temos
ou seja
que é equivalente à equação diferencial escrita na forma diferencial original. Isso confirma coerência.