Resolva o PVI a seguir.
\left\{\begin{array}{l} (2 x-y) d x+(2 y-x) d y=0 \\ y(1)=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial
(2x-y)\,dx+(2y-x)\,dy=0
com a condição inicial
y(1)=3.
O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial dada e a condição inicial. Lista das informações importantes:
  • A equação está escrita na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=2x-y e N(x,y)=2y-x.
  • Existe uma condição inicial que fixa a constante de integração: y(1)=3.

Passo 2

Vamos verificar se a equação é exata (isso nos dá um método direto). Uma equação M\,dx+N\,dy=0 é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M,\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
O teste prático é comparar as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x-y)=-1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2y-x)=-1.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Explicando o método (como fazer na prova): se a equação é exata, procuramos \Phi(x,y) integrando M em relação a x (tratando y como constante) e depois determinando a parte dependente só de y comparando com N. Isso evita resolver uma equação diferencial explícita complicada.

Passo 4

Integrar M(x,y)=2x-y em relação a x:
\Phi(x,y)=\int (2x-y)\,dx = x^2 - x y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque na integração em x tratamos y como constante).

Passo 5

Agora impomos \partial \Phi/\partial y = N(x,y). Calculamos
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^2-xy+h(y)\big) = -x + h'(y).
Igualando a N(x,y)=2y-x obtemos
-x + h'(y)=2y-x \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=2y.
Integramos em y:
h(y)=\int 2y\,dy = y^2 + C_1,
onde C_1 é uma constante real.

Passo 6

Portanto a função potencial geral é (até constante)
\Phi(x,y)=x^2-xy+y^2 + C_1.
A solução implícita geral da equação diferencial é
x^2-xy+y^2=\text{constante}.
Agora usamos a condição inicial y(1)=3 para determinar a constante. Avaliando em (x,y)=(1,3):
1^2 - 1\cdot 3 + 3^2 = 1-3+9=7.
Logo a constante vale 7.

Passo 7

Se quisermos escrever a solução de forma explícita y=y(x), consideramos a equação quadrática em y:
y^2 - x y + x^2 - 7 = 0.
Aplicando a fórmula quadrática para y:
y(x)=\frac{x \pm \sqrt{x^2 - 4(x^2-7)}}{2} =\frac{x \pm \sqrt{28-3x^2}}{2}.
Para escolher o ramo correto usamos a condição y(1)=3. Substituindo x=1 na expressão sob o sinal \pm obtemos
y(1)=\frac{1 \pm \sqrt{28-3}}{2}=\frac{1 \pm 5}{2},
o que dá 3 (com o sinal +) ou -2 (com o sinal -). Como queremos y(1)=3, escolhemos o sinal +. Assim a solução explícita que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{x+\sqrt{28-3x^2}}{2}.
Observação sobre domínio: a raiz exige 28-3x^2\ge 0, isto é |x|\le \sqrt{28/3}. O ramo escolhido é contínuo perto de x=1, então essa é a solução correta no maior intervalo que contém x=1 e onde a expressão é real.

Passo 8

Verificação rápida (como checar na prova): diferenciando implicitamente
x^2-xy+y^2=7
temos
2x - (y + x y') + 2y y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad (2y-x)y' = -(2x-y),
ou seja
y' = -\frac{2x-y}{2y-x},
que é equivalente à equação diferencial escrita na forma diferencial original. Isso confirma coerência.

Resposta

x^2-xy+y^2=7
y(x)=\dfrac{x+\sqrt{28-3x^2}}{2},\quad |x|\le\sqrt{\tfrac{28}{3}}, com y(1)=3.

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