(Otimização) Resolva cada um dos problemas a seguir:
Quais as dimensões uma lata de cerveja (cilíndrica) de
deve ter de modo a minimizar o seu custo de fabricação?
Quais as dimensões uma lata de cerveja (cilíndrica) de
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado.
- Pergunta: Quais as dimensões (raio e altura) de uma lata cilíndrica de
que minimizam o custo de fabricação? Assume-se que o custo é proporcional à área da superfície da lata. - Informações fornecidas:
- Volume fixo da lata:
. Lembrando que , então . - A lata é um cilindro com raio
(em ) e altura (em ). - Custo proporcional à área total da superfície (tampa, fundo e lateral).
- Volume fixo da lata:
- O objetivo explícito: determinar
e que minimizam a área de superfície sujeita à restrição do volume fixo .
Passo 2
Modelagem matemática: equações para volume e área da superfície e o que cada termo significa.
- Volume de um cilindro:
onde
é a constante (~3,14159),
é o raio da base e
é a altura. Essa é a restrição do problema:
é fixo.
- Área total da superfície (tampa + fundo + lateral) de um cilindro:
Explicando os termos:
-
corresponde à área da tampa e do fundo (cada um tem área ). -
é a área lateral (circunferência da base , vezes a altura ).
Nosso objetivo é minimizar
sujeito à restrição
.
Passo 3
Eliminar
usando a restrição do volume para obter
como função de
só.
Da restrição do volume temos:
Substituindo em
:
Simplificando o segundo termo:
Portanto a função a minimizar é:
Comentário didático rápido: agora temos um problema de minimização de uma função de uma variável
. Boa estratégia: calcular a derivada
, achar pontos críticos e verificar que é mínimo usando
.
Passo 4
Calcular a derivada primeira
e igualar a zero para achar pontos críticos.
Derivando termo a termo (lembrando regras:
e
):
Igualando a zero para obter o ponto crítico:
Resolver essa equação para
.
Passo 5
Resolver a equação para
— manipulações algébricas passo a passo.
Partindo de
multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por
:
Portanto o raio ótimo é
Agora obtemos
usando
. Podemos também simplificar a razão
. Calculando
:
Primeiro
. Então
Mas é mais elegante observar a razão direta
. Usando
e
, divide-se
por
:
Substituindo
:
Logo
Interpretação simples e bonita: a lata de custo mínimo (com tampas incluídas) tem altura igual a
vezes o raio, ou seja, a altura é igual ao diâmetro da base.
Passo 6
Verificar que o ponto crítico encontrado é mínimo (teste da segunda derivada).
Calcular
:
Note que para
temos
. Portanto a função
é convexa e o ponto crítico é um mínimo absoluto. Conclusão: as dimensões obtidas realmente minimizam a área (e, portanto, o custo).
Passo 7
Cálculo numérico com
. Passos e aproximações.
- Calcular
:
Calculemos numericamente:
A raiz cúbica de
é aproximadamente
. Arredondando razoavelmente:
- Calcular
usando :
Por consistência, com mais casas:
dá
. Podemos apresentar os valores com duas casas decimais:
,
.
Comentário motivador: portanto, para uma lata de
a configuração que gasta menos material (menor área) tem altura aproximadamente o dobro do raio — visualize: a lata fica “quadrada” no sentido que sua altura é igual ao diâmetro da base.