(Otimização) Resolva cada um dos problemas a seguir:
Quais as dimensões uma lata de cerveja (cilíndrica) de 330 m l deve ter de modo a minimizar o seu custo de fabricação?

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pergunta: Quais as dimensões (raio e altura) de uma lata cilíndrica de 330\\ \text{ml} que minimizam o custo de fabricação? Assume-se que o custo é proporcional à área da superfície da lata.
  • Informações fornecidas:
    • Volume fixo da lata: V=330\\ \text{ml}. Lembrando que 1\\ \text{ml}=1\\ \text{cm}^3, então V=330\\ \text{cm}^3.
    • A lata é um cilindro com raio r (em \text{cm}) e altura h (em \text{cm}).
    • Custo proporcional à área total da superfície (tampa, fundo e lateral).
  • O objetivo explícito: determinar r e h que minimizam a área de superfície sujeita à restrição do volume fixo V.

Passo 2

Modelagem matemática: equações para volume e área da superfície e o que cada termo significa.
  • Volume de um cilindro: V=\pi r^{2}h,
onde \pi é a constante (~3,14159), r é o raio da base e h é a altura. Essa é a restrição do problema: V é fixo.
  • Área total da superfície (tampa + fundo + lateral) de um cilindro: S=2\pi r^{2}+2\pi r h.
Explicando os termos:
  • 2\pi r^{2} corresponde à área da tampa e do fundo (cada um tem área \pi r^{2}).
  • 2\pi r h é a área lateral (circunferência da base \,2\pi r, vezes a altura h).
Nosso objetivo é minimizar S sujeito à restrição \pi r^{2}h=V.

Passo 3

Eliminar h usando a restrição do volume para obter S como função de r só.
Da restrição do volume temos: h=\frac{V}{\pi r^{2}}.
Substituindo em S: S(r)=2\pi r^{2}+2\pi r\left(\frac{V}{\pi r^{2}}\right).
Simplificando o segundo termo: 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^{2}}=\frac{2V}{r}.
Portanto a função a minimizar é: S(r)=2\pi r^{2}+\frac{2V}{r}.
Comentário didático rápido: agora temos um problema de minimização de uma função de uma variável r>0. Boa estratégia: calcular a derivada S'(r), achar pontos críticos e verificar que é mínimo usando S''(r).

Passo 4

Calcular a derivada primeira S'(r) e igualar a zero para achar pontos críticos.
Derivando termo a termo (lembrando regras: \dfrac{d}{dr}(r^{2})=2r e \dfrac{d}{dr}(r^{-1})=-r^{-2}):
S'(r)=\frac{d}{dr}\!\left(2\pi r^{2}\right)+\frac{d}{dr}\!\left(\frac{2V}{r}\right) =4\pi r - 2V r^{-2}.
Igualando a zero para obter o ponto crítico:
4\pi r - \frac{2V}{r^{2}}=0.
Resolver essa equação para r.

Passo 5

Resolver a equação para r — manipulações algébricas passo a passo.
Partindo de 4\pi r = \frac{2V}{r^{2}},
multiplicando ambos os lados por r^{2}:
4\pi r^{3}=2V.
Dividindo por 4\pi:
r^{3}=\frac{2V}{4\pi}=\frac{V}{2\pi}.
Portanto o raio ótimo é
r=\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{1/3}.
Agora obtemos h usando h=V/(\pi r^{2}). Podemos também simplificar a razão h/r. Calculando h:
Primeiro r^{2}=\left(\dfrac{V}{2\pi}\right)^{2/3}. Então
h=\frac{V}{\pi r^{2}}=\frac{V}{\pi}\left(\frac{2\pi}{V}\right)^{2/3} =V^{1/3}\cdot\frac{(2\pi)^{2/3}}{\pi}.
Mas é mais elegante observar a razão direta h/r. Usando r^{3}=\dfrac{V}{2\pi} e h=\dfrac{V}{\pi r^{2}}, divide-se h por r:
\frac{h}{r}=\frac{V}{\pi r^{3}}=\frac{V}{\pi}\cdot\frac{1}{r^{3}}.
Substituindo r^{3}=\dfrac{V}{2\pi}:
\frac{h}{r}=\frac{V}{\pi}\cdot\frac{2\pi}{V}=2.
Logo
h=2r.
Interpretação simples e bonita: a lata de custo mínimo (com tampas incluídas) tem altura igual a 2 vezes o raio, ou seja, a altura é igual ao diâmetro da base.

Passo 6

Verificar que o ponto crítico encontrado é mínimo (teste da segunda derivada).
Calcular S''(r):
S''(r)=\frac{d}{dr}\!\left(4\pi r - 2V r^{-2}\right)=4\pi +4V r^{-3}.
Note que para r>0 temos S''(r)>0. Portanto a função S(r) é convexa e o ponto crítico é um mínimo absoluto. Conclusão: as dimensões obtidas realmente minimizam a área (e, portanto, o custo).

Passo 7

Cálculo numérico com V=330\\ \text{cm}^3. Passos e aproximações.
  • Calcular r:
r=\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{1/3}=\left(\frac{330}{2\pi}\right)^{1/3}.
Calculemos numericamente:
2\pi\approx6{,}2831853,\qquad \frac{330}{2\pi}\approx52{,}555.
A raiz cúbica de 52{,}555 é aproximadamente 3{,}745. Arredondando razoavelmente:
r\approx3{,}74\\ \text{cm}.
  • Calcular h usando h=2r:
h\approx2\cdot 3{,}74\\ \text{cm}=7{,}48\\ \text{cm}.
Por consistência, com mais casas: r\approx3{,}745\\ \text{cm} h\approx7{,}490\\ \text{cm}. Podemos apresentar os valores com duas casas decimais: r\approx3{,}74\\ \text{cm}, h\approx7{,}49\\ \text{cm}.
Comentário motivador: portanto, para uma lata de 330\\ \text{ml} a configuração que gasta menos material (menor área) tem altura aproximadamente o dobro do raio — visualize: a lata fica “quadrada” no sentido que sua altura é igual ao diâmetro da base.

Resposta

r\approx3{,}74\\ \text{cm}
h\approx7{,}49\\ \text{cm}

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