(Teoria e exemplos) Assinale V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas. Se a afirmativa for falsa, forneça um exemplo que mostre o porquê dela ser falsa.
(a) ( F ) Toda função é derivável.
(b) ( v ) Toda função derivável em x=a é contínua em x=a.
(c) ( F ) Toda função contínua em x=a é derivável em x=a.
(d) ( F ) Se f e g são funções deriváveis, então a derivada de f(g(x)) é f^{\prime}\left(g^{\prime}(x)\right).
(e) ( v ) Se f for diferenciável em (a, b) e contínua em [a, b], então existirá um c \in \mathbb{R} entre a e b tal que f^{\prime}\text{(c)}=0.
(f) ( F ) Se f e g são funções que possuem um máximo local em x=a então a função f-g também possui.
(g) ( v ) Se f for diferenciável em ( a, b ) e contínua em [a, b], então existirá um número c entre a e b tal que
f^{\prime}\text{(c)}=\frac{f(b)-f(b)}{b-a}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as afirmativas que temos de analisar. Para cada item (a)–(g) é preciso dizer se a afirmativa é verdadeira (V) ou falsa (F). Se for falsa, dar um contraexemplo que mostre por que é falsa.
Afirmativas a analisar (copiadas do enunciado):
(a) Toda função é derivável.
(b) Toda função derivável em x=a é contínua em x=a.
(c) Toda função contínua em x=a é derivável em x=a.
(d) Se f e g são funções deriváveis, então a derivada de f(g(x)) é f^{\prime}\left(g^{\prime}(x)\right).
(e) Se f for diferenciável em (a, b) e contínua em [a, b], então existirá um c\in\mathbb{R} entre a e b tal que f^{\prime}\text{(c)}=0.
(f) Se f e g são funções que possuem um máximo local em x=a então a função f-g também possui.
(g) Se f for diferenciável em (a, b) e contínua em [a, b], então existirá um número c entre a e b tal que
f^{\prime}\text{(c)}=\frac{f(b)-f(b)}{b-a}.
Observação importante: no item (g) aparece \dfrac{f(b)-f(b)}{b-a} (numerador zero) — isso parece um erro de digitação. Vou comentar esse detalhe quando tratar (g) e assumir a versão clássica correta (o Teorema do Valor Médio) que usa \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Passo 2

Antes de analisar cada afirmativa, vamos revisar os conceitos fundamentais (com linguagem simples e exemplos curtos).
Definição de derivada (no ponto a). A função f é derivável em x=a se existir o limite
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
quando esse limite existe e é finito. Esse número f'(a) mede a inclinação da reta tangente à curva no ponto.
Definição de continuidade (no ponto a). A função f é contínua em x=a se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Intuição: sem “buracos” nem saltos no ponto.
Relação entre diferenciabilidade e continuidade. Se f é derivável em a então é contínua em a. A ideia rápida: se o quociente diferença sobre h tem limite finito, então f(a+h)-f(a)=h\cdot f'(a)+o(h) e isso tende a 0 quando h\to0, logo f(a+h)\to f(a).
Contraexemplos comuns para mostrar que implicações não valem no sentido inverso: a função valor absoluto f(x)=|x| é contínua em 0 mas não derivável em 0 (as derivadas laterais são diferentes).
Teoremas úteis que aparecerão:
  • Teorema de Rolle: se f é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e f(a)=f(b), então existe c\in(a,b) com f'\text{(c)}=0.
  • Teorema do Valor Médio (MVT): se f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe c\in(a,b) com
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Passo 3

Afirmativa: “Toda função é derivável.”
Análise: essa afirmação é muito geral e facilmente falsa. Derivabilidade é uma propriedade forte: exige limite do quociente incremental existir. Há muitas funções que não têm esse limite em certos pontos.
Contraexemplo simples: f(x)=|x| em x=0.
  • Para h>0,
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{|h|-0}{h}=1.
  • Para h<0,
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{|-|h||}{h}=\frac{-h}{h}=-1.
As derivadas laterais existem mas são diferentes ( +1 e -1), portanto o limite total não existe e f não é derivável em 0. Logo nem toda função é derivável.
Conclusão para (a): falsa.

Passo 4

Afirmativa: “Toda função derivável em x=a é contínua em x=a.”
Análise teórica e prova breve (didática):
Suponha f derivável em a. Então f'(a) existe e é finito, isto é
\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=L \quad\text{(existe)}.
Multiplicando por h,
f(a+h)-f(a)=h\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Tomando limite h\to0 do lado direito, o fator \frac{f(a+h)-f(a)}{h} tende para L e h\to0, então o produto tende a 0. Logo \lim_{h\to0} (f(a+h)-f(a))=0, ou seja \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Portanto f é contínua em a.
Isto é uma prova padrão e completa: diferenciabilidade implica continuidade.
Conclusão para (b): verdadeira.

Passo 5

Afirmativa: “Toda função contínua em x=a é derivável em x=a.”
Análise: essa é a recíproca da (b). Sabemos que a recíproca não é verdadeira em geral.
Contraexemplo clássico: f(x)=|x| em x=0.
  • Já vimos que f é contínua em 0 (porque \lim_{x\to0}|x|=0=f(0)), mas não é derivável em 0 porque as derivadas laterais existem e são diferentes ( +1 e -1). Portanto a continuidade não garante derivabilidade.
Outro exemplo: funções com “cantos” ou qubras nas tangentes, ou funções com oscilação muito rápida (Weierstrass) que são contínuas em todo lugar e não deriváveis em nenhum ponto.
Conclusão para (c): falsa.

Passo 6

Afirmativa: “Se f e g são funções deriváveis, então a derivada de f(g(x)) é f^{\prime}\left(g^{\prime}(x)\right).”
Análise: isso confunde a regra da cadeia. A regra correta é
(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
A afirmativa dada coloca g'(x) dentro de f' em vez de multiplicar por g'(x). Isso é, em geral, errado.
Contraexemplo numérico simples: escolha f(u)=u^{2} e g(x)=x^{2}.
  • f'(u)=2u.
  • g'(x)=2x.
    Aplicando a regra correta,
(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=2\cdot g(x)\cdot 2x=4x\cdot g(x)=4x^{3}.
Afirmativa errada daria
\tilde{D}(x):=f'(g'(x))=2\cdot g'(x)=2\cdot(2x)=4x.
Compare em x=2:
  • Regra correta: (f\circ g)'(2)=4\cdot 2^{3}=32.
  • Fórmula errada: \tilde{D}(2)=4\cdot 2=8.
    Como os números são diferentes, a afirmativa é refutada.
Conclusão para (d): falsa.

Passo 7

Afirmativa: “Se f for diferenciável em (a, b) e contínua em [a, b], então existirá um c\in\mathbb{R} entre a e b tal que f^{\prime}\text{(c)}=0.”
Análise: essa afirmação lembra o Teorema de Rolle, mas para Rolle é necessário também que f(a)=f(b). Sem a condição f(a)=f(b) não se garante a existência de um ponto com derivada zero. Então a afirmativa, como está escrita (sem impor f(a)=f(b)), é falsa.
Contraexemplo simples: tomar f(x)=x em [0,1].
  • f é contínua em [0,1] e diferenciável em (0,1).
  • f'(x)=1 para todo x, logo não existe c com f'\text{(c)}=0.
    Isto mostra que a condição f(a)=f(b) é essencial para concluir f'\text{(c)}=0.
Conclusão para (e): falsa (a versão verdadeira é o Teorema de Rolle, que exige f(a)=f(b)).

Passo 8

Afirmativa: “Se f e g são funções que possuem um máximo local em x=a então a função f-g também possui.”
Análise: não é garantido. O fato de duas funções terem máximos locais no mesmo ponto não impõe que a diferença tenha máximo local nesse ponto — pode dar um mínimo ou nem ter extremo.
Contraexemplo simples: escolha
f(x)=-x^{2},\qquad g(x)=-2x^{2}.
  • Ambos têm máximo local (e global) em x=0: f(0)=0, g(0)=0, e ao redor de 0 ambos decrescem.
  • Calcule h(x)=f(x)-g(x)=(-x^{2})-(-2x^{2})=x^{2}.
  • A função h(x)=x^{2} tem um mínimo local em 0, não um máximo. Logo f-g não tem um máximo local em 0.
Isto mostra a afirmativa é falsa: a diferença pode ter um mínimo (ou outro comportamento) em vez de máximo.
Conclusão para (f): falsa.

Passo 9

Afirmativa escrita no enunciado:
f^{\prime}\text{(c)}=\frac{f(b)-f(b)}{b-a}.
Comentário sobre o possível erro: o numerador f(b)-f(b) é 0, o que tornaria a afirmativa equivalente a “existe c com f'\text{(c)}=0” sempre — isso é falso sem hipóteses adicionais. O enunciado padrão do Teorema do Valor Médio (MVT) é com numerador f(b)-f(a). Vou assumir que a intenção foi a versão clássica:
\text{Se } f\text{ é contínua em }[a,b]\text{ e diferenciável em }(a,b),\text{ então existe }c\in(a,b)\text{ tal que}éíáã
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Essa versão clássica (MVT) é verdadeira. Vou esboçar por que:
Prova-esboço (via Rolle). Defina a função auxiliar
\varphi(x)=f(x)-\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)x.
Ajuste constantes para fazer \varphi(a)=\varphi(b); então \varphi satisfaz as hipóteses de Rolle (contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e \varphi(a)=\varphi(b)). Pelo Teorema de Rolle existe c\in(a,b) tal que \varphi'\text{(c)}=0. Calculando \varphi'(x)=f'(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}, obtemos a igualdade desejada em c.
Exemplo concreto: f(x)=x^{2} em [0,1].
  • A média secante é \dfrac{f(1)-f(0)}{1-0}=\dfrac{1-0}{1}=1.
  • A derivada f'(x)=2x. Existe c com 2c=1, ou seja c=\tfrac{1}{2}\in(0,1). De fato o MVT aplica e dá esse c.
Conclusão: interpretando (g) corretamente como o Teorema do Valor Médio com \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}, a afirmativa é verdadeira. Se tomarmos o enunciado literalmente com \dfrac{f(b)-f(b)}{b-a}=0, então a afirmação seria falsa (contraexemplo do passo (e) com f(x)=x mostra isso). Portanto a leitura natural e correta é a versão com f(a) no numerador, que é verdadeira.
Conclusão para (g): verdadeira (assumindo a correção do erro tipográfico para \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}).

Resposta

(a) F
(b) V
(c) F
(d) F
(e) F
(f) F
(g) V

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