(Teoria e exemplos) Assinale V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas. Se a afirmativa for falsa, forneça um exemplo que mostre o porquê dela ser falsa.
(a) ( F ) Toda função é derivável.
(b) ( v ) Toda função derivável em
é contínua em
.
(c) ( F ) Toda função contínua em
é derivável em
.
(d) ( F ) Se
e
são funções deriváveis, então a derivada de
é
.
(e) ( v ) Se
for diferenciável em
e contínua em
, então existirá um
entre
e
tal que
.
(f) ( F ) Se
e
são funções que possuem um máximo local em
então a função
também possui.
(g) ( v ) Se
for diferenciável em (
) e contínua em
, então existirá um número
entre
e
tal que
(a) ( F ) Toda função é derivável.
(b) ( v ) Toda função derivável em
(c) ( F ) Toda função contínua em
(d) ( F ) Se
(e) ( v ) Se
(f) ( F ) Se
(g) ( v ) Se
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as afirmativas que temos de analisar. Para cada item (a)–(g) é preciso dizer se a afirmativa é verdadeira (V) ou falsa (F). Se for falsa, dar um contraexemplo que mostre por que é falsa.
Afirmativas a analisar (copiadas do enunciado):
(a) Toda função é derivável.
(b) Toda função derivável em é contínua em
.
(c) Toda função contínua em é derivável em
.
(d) Se e
são funções deriváveis, então a derivada de
é
.
(e) Se for diferenciável em
e contínua em
, então existirá um
entre
e
tal que
.
(f) Se e
são funções que possuem um máximo local em
então a função
também possui.
(g) Se for diferenciável em
e contínua em
, então existirá um número
entre
e
tal que
(a) Toda função é derivável.
(b) Toda função derivável em
(c) Toda função contínua em
(d) Se
(e) Se
(f) Se
(g) Se
Observação importante: no item (g) aparece
(numerador zero) — isso parece um erro de digitação. Vou comentar esse detalhe quando tratar (g) e assumir a versão clássica correta (o Teorema do Valor Médio) que usa
.
Passo 2
Antes de analisar cada afirmativa, vamos revisar os conceitos fundamentais (com linguagem simples e exemplos curtos).
Definição de derivada (no ponto
). A função
é derivável em
se existir o limite
quando esse limite existe e é finito. Esse número
mede a inclinação da reta tangente à curva no ponto.
Definição de continuidade (no ponto
). A função
é contínua em
se
Intuição: sem “buracos” nem saltos no ponto.
Relação entre diferenciabilidade e continuidade. Se
é derivável em
então é contínua em
. A ideia rápida: se o quociente diferença sobre
tem limite finito, então
e isso tende a
quando
, logo
.
Contraexemplos comuns para mostrar que implicações não valem no sentido inverso: a função valor absoluto
é contínua em
mas não derivável em
(as derivadas laterais são diferentes).
Teoremas úteis que aparecerão:
- Teorema de Rolle: se
é contínua em , diferenciável em e , então existe com . - Teorema do Valor Médio (MVT): se
é contínua em e diferenciável em , então existe com
Passo 3
Afirmativa: “Toda função é derivável.”
Análise: essa afirmação é muito geral e facilmente falsa. Derivabilidade é uma propriedade forte: exige limite do quociente incremental existir. Há muitas funções que não têm esse limite em certos pontos.
Análise: essa afirmação é muito geral e facilmente falsa. Derivabilidade é uma propriedade forte: exige limite do quociente incremental existir. Há muitas funções que não têm esse limite em certos pontos.
Contraexemplo simples:
em
.
- Para
,
- Para
,
As derivadas laterais existem mas são diferentes (
e
), portanto o limite total não existe e
não é derivável em
. Logo nem toda função é derivável.
Conclusão para (a): falsa.
Passo 4
Afirmativa: “Toda função derivável em
é contínua em
.”
Análise teórica e prova breve (didática):
Análise teórica e prova breve (didática):
Suponha
derivável em
. Então
existe e é finito, isto é
Multiplicando por
,
Tomando limite
do lado direito, o fator
tende para
e
, então o produto tende a
. Logo
, ou seja
. Portanto
é contínua em
.
Isto é uma prova padrão e completa: diferenciabilidade implica continuidade.
Conclusão para (b): verdadeira.
Passo 5
Afirmativa: “Toda função contínua em
é derivável em
.”
Análise: essa é a recíproca da (b). Sabemos que a recíproca não é verdadeira em geral.
Análise: essa é a recíproca da (b). Sabemos que a recíproca não é verdadeira em geral.
Contraexemplo clássico:
em
.
- Já vimos que
é contínua em (porque ), mas não é derivável em porque as derivadas laterais existem e são diferentes ( e ). Portanto a continuidade não garante derivabilidade.
Outro exemplo: funções com “cantos” ou qubras nas tangentes, ou funções com oscilação muito rápida (Weierstrass) que são contínuas em todo lugar e não deriváveis em nenhum ponto.
Conclusão para (c): falsa.
Passo 6
Afirmativa: “Se
e
são funções deriváveis, então a derivada de
é
.”
Análise: isso confunde a regra da cadeia. A regra correta é
Análise: isso confunde a regra da cadeia. A regra correta é
A afirmativa dada coloca
dentro de
em vez de multiplicar por
. Isso é, em geral, errado.
Contraexemplo numérico simples: escolha
e
.
-
. -
.
Aplicando a regra correta,
Afirmativa errada daria
Compare em
:
- Regra correta:
- Fórmula errada:
Como os números são diferentes, a afirmativa é refutada.
Conclusão para (d): falsa.
Passo 7
Afirmativa: “Se
for diferenciável em
e contínua em
, então existirá um
entre
e
tal que
.”
Análise: essa afirmação lembra o Teorema de Rolle, mas para Rolle é necessário também que . Sem a condição
não se garante a existência de um ponto com derivada zero. Então a afirmativa, como está escrita (sem impor
), é falsa.
Análise: essa afirmação lembra o Teorema de Rolle, mas para Rolle é necessário também que
Contraexemplo simples: tomar
em
.
-
é contínua em e diferenciável em . -
para todo , logo não existe com .
Isto mostra que a condiçãoé essencial para concluir .
Conclusão para (e): falsa (a versão verdadeira é o Teorema de Rolle, que exige
).
Passo 8
Afirmativa: “Se
e
são funções que possuem um máximo local em
então a função
também possui.”
Análise: não é garantido. O fato de duas funções terem máximos locais no mesmo ponto não impõe que a diferença tenha máximo local nesse ponto — pode dar um mínimo ou nem ter extremo.
Análise: não é garantido. O fato de duas funções terem máximos locais no mesmo ponto não impõe que a diferença tenha máximo local nesse ponto — pode dar um mínimo ou nem ter extremo.
Contraexemplo simples: escolha
- Ambos têm máximo local (e global) em
: , , e ao redor de ambos decrescem. - Calcule
. - A função
tem um mínimo local em , não um máximo. Logo não tem um máximo local em .
Isto mostra a afirmativa é falsa: a diferença pode ter um mínimo (ou outro comportamento) em vez de máximo.
Conclusão para (f): falsa.
Passo 9
Afirmativa escrita no enunciado:
Comentário sobre o possível erro: o numerador
é
, o que tornaria a afirmativa equivalente a “existe
com
” sempre — isso é falso sem hipóteses adicionais. O enunciado padrão do Teorema do Valor Médio (MVT) é com numerador
. Vou assumir que a intenção foi a versão clássica:
Essa versão clássica (MVT) é verdadeira. Vou esboçar por que:
Prova-esboço (via Rolle). Defina a função auxiliar
Ajuste constantes para fazer
; então
satisfaz as hipóteses de Rolle (contínua em
, diferenciável em
e
). Pelo Teorema de Rolle existe
tal que
. Calculando
, obtemos a igualdade desejada em
.
Exemplo concreto:
em
.
- A média secante é
. - A derivada
. Existe com , ou seja . De fato o MVT aplica e dá esse .
Conclusão: interpretando (g) corretamente como o Teorema do Valor Médio com
, a afirmativa é verdadeira. Se tomarmos o enunciado literalmente com
, então a afirmação seria falsa (contraexemplo do passo (e) com
mostra isso). Portanto a leitura natural e correta é a versão com
no numerador, que é verdadeira.
Conclusão para (g): verdadeira (assumindo a correção do erro tipográfico para
).
Resposta
(a) F
(b) V
(c) F
(d) F
(e) F
(f) F
(g) V
(b) V
(c) F
(d) F
(e) F
(f) F
(g) V