Resolva o PVI:
x^prime-2 x=3 e^t ; x(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
x' - 2x = 3e^t, x(0)=2
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevendo na forma padrão x' + p(t)x = g(t), temos p(t) = -2. O fator integrante é
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral -2,dt = e^-2t

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(t) obtemos
e^-2tx' - 2e^-2tx = 3e^te^-2t
e o lado esquerdo é exatamente
ddtl(e^-2txr) = 3e^-t

Passo 4

Integrando ambos os lados em t:
e^-2tx = integral 3e^-t,dt = -3e^-t + C
Isolando x vem
x(t) = e^2tl(-3e^-t + Cr) = -3e^t + Ce^2t

Passo 5

Aplicando a condição inicial x(0)=2:
2 = -3e^0 + C e^0 = -3 + C
logo C = 5. Assim a solução particular é
x(t) = -3e^t + 5e^2t

Resposta

x(t) = 5e^2t - 3e^t

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