Dada a equação autônoma:
(a) Encontre suas soluções de equilíbrio.
(b) Classifique estas soluções quanto à estabilidade (instável, assintoticamente estável ou semiestável).
(b) Classifique estas soluções quanto à estabilidade (instável, assintoticamente estável ou semiestável).
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial autônoma
e pede (a) encontrar as soluções de equilíbrio, isto é, os valores constantes
que tornam
, e (b) classificar cada equilíbrio quanto à estabilidade (instável, assintoticamente estável ou semiestável). Para isso, vamos usar o critério de linearização: se
, então em
o sinal de
diz a estabilidade.
Passo 2
Encontrar os equilíbrios resolvendo
Temos produto igual a zero quando
Logo, as soluções de equilíbrio são
Passo 3
Para classificar a estabilidade, calculamos a derivada de
:
Passo 4
Avaliar
em cada ponto de equilíbrio:
Pelo critério de linearização:
- Se
, o equilíbrio é instável. - Se
, o equilíbrio é assintoticamente estável.
Resposta
(a) As soluções de equilíbrio são
,
e
.
(b) é instável;
e
são assintoticamente estáveis.
(b)