Dada a equação autônoma:
d yd t=y(1-y^2)
(a) Encontre suas soluções de equilíbrio.
(b) Classifique estas soluções quanto à estabilidade (instável, assintoticamente estável ou semiestável).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial autônoma
dydt = yl(1 - y^2r),
e pede (a) encontrar as soluções de equilíbrio, isto é, os valores constantes y(t)=y^* que tornam tfracdydt=0, e (b) classificar cada equilíbrio quanto à estabilidade (instável, assintoticamente estável ou semiestável). Para isso, vamos usar o critério de linearização: se f(y)=y(1-y^2), então em y^* o sinal de f'(y^*) diz a estabilidade.

Passo 2

Encontrar os equilíbrios resolvendo
f(y) = yl(1 - y^2r) = 0
Temos produto igual a zero quando
y = 0 ou 1 - y^2 = 0 ;Longrightarrow; y^2 = 1 ;Longrightarrow; y = pm 1
Logo, as soluções de equilíbrio são
y^* = 0, y^* = 1, y^* = -1

Passo 3

Para classificar a estabilidade, calculamos a derivada de f:
f'(y) = ddyl[y(1 - y^2)r] = 1 - 3y^2

Passo 4

Avaliar f'(y) em cada ponto de equilíbrio:
f'(0) = 1 - 3cdot0^2 = 1 > 0,
f'(1) = 1 - 3cdot1^2 = -2 < 0,
f'(-1) = 1 - 3cdot(-1)^2 = -2 < 0
Pelo critério de linearização:
  • Se f'(y^*)>0, o equilíbrio é instável.
  • Se f'(y^*)<0, o equilíbrio é assintoticamente estável.

Resposta

(a) As soluções de equilíbrio são y^* = 0, y^* = 1 e y^* = -1.
(b) y^*=0 é instável; y^* = 1 e y^* = -1 são assintoticamente estáveis.

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