Encontre uma solução geral de cada uma das equações diferenciais dadas abaixo.
Encontre uma solução geral de cada uma das equações nos Problemas seguintes. Primeiro encontre por verificação uma raiz inteira pequena da equação característica; depois fatore por divisão.
Encontre uma solução geral de cada uma das equações nos Problemas seguintes. Primeiro encontre por verificação uma raiz inteira pequena da equação característica; depois fatore por divisão.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem quatro com coeficientes constantes
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico:
- Escrevemos o polinômio característico
- Procuramos raízes inteiras pequenas por tentativa.
- Cada raiz encontrada faz um fator
. Fatoramos por divisão sintética até restar um polinômio de grau dois, que resolveremos por fórmula ou reconhecimento de soma de quadrados.
Passo 2
Testamos raízes inteiras em
. Para
:
Logo
é raiz. Fator
.
Passo 3
Dividindo
por
via divisão sintética com coeficientes
:
Obtemos o quociente
. Portanto
Passo 4
Procuramos raiz inteira de
. Para
:
Então
é raiz. Dividindo por
(síntese com coeficientes
e divisor
) resulta em
. Logo
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática
. As raízes são
Passo 6
Como as raízes do polinômio característico são
a solução geral da EDO é
Mas
, então fica: