Encontre uma solução geral de cada uma das equações diferenciais dadas abaixo.
Encontre uma solução geral de cada uma das equações nos Problemas seguintes. Primeiro encontre por verificação uma raiz inteira pequena da equação característica; depois fatore por divisão.
y^(4)-y^(3)+y^prime prime-3 y^prime-6 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem quatro com coeficientes constantes
y^(4) - y^(3) + y'' - 3y' - 6y = 0
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico:
  1. Escrevemos o polinômio característico P(r) = r^4 - r^3 + r^2 - 3r - 6
  2. Procuramos raízes inteiras pequenas por tentativa.
  3. Cada raiz encontrada faz um fator (r - ri). Fatoramos por divisão sintética até restar um polinômio de grau dois, que resolveremos por fórmula ou reconhecimento de soma de quadrados.

Passo 2

Testamos raízes inteiras em P(r). Para r=2:
P(2) = 2^4 - 2^3 + 2^2 - 3cdot2 - 6 = 16 - 8 + 4 - 6 - 6 = 0
Logo r=2 é raiz. Fator (r-2).

Passo 3

Dividindo P(r) por (r-2) via divisão sintética com coeficientes 1,,-1,,1,,-3,,-6:
c|ccccc 2 & 1 & -1 & 1 & -3 & -6hline & & 2 & 1 & 6 & 3 & 1 & 1 & 3 & 3 & 0
Obtemos o quociente r^3 + r^2 + 3r + 3. Portanto
P(r) = (r-2),(r^3 + r^2 + 3r + 3)

Passo 4

Procuramos raiz inteira de r^3 + r^2 + 3r + 3 = 0. Para r=-1:
(-1)^3 + (-1)^2 + 3(-1) + 3 = -1 + 1 -3 +3 = 0
Então r=-1 é raiz. Dividindo por (r+1) (síntese com coeficientes 1,1,3,3 e divisor -1) resulta em r^2 + 3. Logo
P(r) = (r-2),(r+1),(r^2+3)

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática r^2 + 3 = 0. As raízes são
r = pm iraiz3

Passo 6

Como as raízes do polinômio característico são
r1 = 2, r2 = -1, r3,4 = pm iraiz3,
a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-x + e^0cdot xl(C3cos(raiz3,x) + C4sin(raiz3,x)r)
Mas e^0cdot x=1, então fica:

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 e^-x + C3 cosl(raiz3,xr) + C4 sinl(raiz3,xr)

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