Resolva as EDOs
\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}=e^{-y}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\left(1+x^{2}\right)\frac{dy}{dx}=e^{-y}
e pede para encontrar a solução geral y(x).
Informações essenciais fornecidas:
  • A variável independente é x.
  • A variável dependente é y (uma função de x).
  • A equação relaciona \frac{dy}{dx} com x e y.
    O objetivo é isolar e integrar para obter y em função de x (a solução geral), incluindo a constante de integração e observações sobre domínio/condições.

Passo 2

Identificar se a equação pode ser escrita de forma a separar as variáveis x e y. Começo isolando \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{-y}}{1+x^{2}}.
Este formato já sugere que podemos separar y e x: todos os termos com y de um lado e os com x do outro.

Passo 3

Fazer a separação explícita das variáveis: multiplico ambos os lados por e^{y} e por dx para agrupar y e x:
e^{y}\,dy=\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Explicação didática: a ideia de “equação separável” é conseguir uma igualdade da forma g(y)\,dy=h(x)\,dx. Depois integra-se cada lado em relação à sua variável. Aqui g(y)=e^{y} e h(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Vou explicar as integrais usadas:
  • A primitiva de e^{y} em relação a y é e^{y}, pois \dfrac{d}{dy}e^{y}=e^{y}.
  • A primitiva de \dfrac{1}{1+x^{2}} em relação a x é \arctan x, pois \dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
Portanto integro:
\int e^{y}\,dy=\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx
que resulta em
e^{y}=\arctan x + C,
onde C é a constante de integração (um número real).

Passo 5

Isolar y. Como e^{y}>0 para todo y, tomo logaritmo natural dos dois lados (apenas onde o lado direito for positivo):
y=\ln\!\bigl(\arctan x + C\bigr).
Aqui C é a mesma constante de integração da etapa anterior. Observação: a expressão \arctan x + C deve ser positiva no intervalo em que se busca a solução, porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos. Em outras palavras, a solução geral é válida em qualquer intervalo onde \arctan x + C>0.

Passo 6

Verificação rápida (mecânica): derivando y pela fórmula encontrada e substituindo na equação original deve-se recuperar a identidade. Faço o cálculo conceitual:
y=\ln\!\bigl(\arctan x + C\bigr)\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\arctan x + C}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\arctan x\bigr)=\frac{1}{\arctan x + C}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}.
Multiplicando por (1+x^{2}) obtemos
(1+x^{2})\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\arctan x + C}.
Pela solução, e^{-y}=e^{-\ln(\arctan x + C)}=\dfrac{1}{\arctan x + C}. Logo os dois lados coincidem, o que confirma a solução.

Passo 7

Comentário sobre constantes e domínio (útil para prova): a constante C é arbitrária; cada valor de C dá uma família de soluções definidas em intervalos onde \arctan x + C>0. Não existe solução com e^{y}=0 porque e^{y} nunca é zero. Portanto não há soluções adicionais “singulares” perdidas nesse processo.

Resposta

y=\ln\!\bigl(\arctan x + C\bigr), com C\in\mathbb{R} e definido para \arctan x + C>0.

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