Resolva as EDOs
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede para encontrar a solução geral
.
Informações essenciais fornecidas:
Informações essenciais fornecidas:
- A variável independente é
. - A variável dependente é
(uma função de ). - A equação relaciona
com e .
O objetivo é isolar e integrar para obterem função de (a solução geral), incluindo a constante de integração e observações sobre domínio/condições.
Passo 2
Identificar se a equação pode ser escrita de forma a separar as variáveis
e
. Começo isolando
:
Este formato já sugere que podemos separar
e
: todos os termos com
de um lado e os com
do outro.
Passo 3
Fazer a separação explícita das variáveis: multiplico ambos os lados por
e por
para agrupar
e
:
Explicação didática: a ideia de “equação separável” é conseguir uma igualdade da forma
. Depois integra-se cada lado em relação à sua variável. Aqui
e
.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Vou explicar as integrais usadas:
- A primitiva de
em relação a é , pois . - A primitiva de
em relação a é , pois .
Portanto integro:
que resulta em
onde
é a constante de integração (um número real).
Passo 5
Isolar
. Como
para todo
, tomo logaritmo natural dos dois lados (apenas onde o lado direito for positivo):
Aqui
é a mesma constante de integração da etapa anterior. Observação: a expressão
deve ser positiva no intervalo em que se busca a solução, porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos. Em outras palavras, a solução geral é válida em qualquer intervalo onde
.
Passo 6
Verificação rápida (mecânica): derivando
pela fórmula encontrada e substituindo na equação original deve-se recuperar a identidade. Faço o cálculo conceitual:
Multiplicando por
obtemos
Pela solução,
. Logo os dois lados coincidem, o que confirma a solução.
Passo 7
Comentário sobre constantes e domínio (útil para prova): a constante
é arbitrária; cada valor de
dá uma família de soluções definidas em intervalos onde
. Não existe solução com
porque
nunca é zero. Portanto não há soluções adicionais “singulares” perdidas nesse processo.