Resolva o PVI: y^{\prime}+\frac{y}{x}=\sin x, y(\pi)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y'+\frac{y}{x}=\sin x, \quad y(\pi)=1.
Este é um EDO linear de primeira ordem na forma
y'+P(x)\,y=Q(x),
com P(x)=\tfrac1x e Q(x)=\sin x. Vamos usar o fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) dado por
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int \tfrac1x\,dx\Bigr) =\exp(\ln x) =x.

Passo 3

Multiplicamos a EDO por \mu(x)=x, obtendo
x\,y' + y = x\sin x.
O lado esquerdo é a derivada do produto x\,y, logo
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr)=x\sin x.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
x\,y=\int x\sin x\,dx + C.
Para calcular \displaystyle\int x\sin x\,dx usamos integração por partes: seja u=x, dv=\sin x\,dx, então du=dx, v=-\cos x. Assim,
\int x\sin x\,dx =-x\cos x+\int\cos x\,dx =-x\cos x+\sin x.
Logo
x\,y=-x\cos x+\sin x + C \quad\Longrightarrow\quad y=-\cos x+\frac{\sin x}{x}+\frac{C}{x}.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(\pi)=1:
1 =y(\pi) =-\cos\pi+\frac{\sin\pi}{\pi}+\frac{C}{\pi} = -(-1)+0+\frac{C}{\pi} =1+\frac{C}{\pi}.
Daí \frac{C}{\pi}=0, logo C=0.

Resposta

y(x)=-\cos x+\frac{\sin x}{x}.

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