Resolva: \left(x^{2}+y^{2}\right) d x-x y d y=0.

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem
(x^{2}+y^{2})\,dx - x\,y\,dy = 0
Reescrevendo em forma de derivada:
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x\,y}.
Isso mostra que o termo do lado direito é homogêneo de grau zero em x,y, então podemos usar a substituição y=u\,x.

Passo 2

Faça y=u\,x. Então
\frac{dy}{dx} =\frac{d(u\,x)}{dx} =u + x\,\frac{du}{dx}.
Substituindo em \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x\,y}
temos
u + x\frac{du}{dx} =\frac{x^{2}+(u\,x)^{2}}{x\,(u\,x)} =\frac{x^{2}+u^{2}x^{2}}{u\,x^{2}} =\frac{1+u^{2}}{u}.

Passo 3

Isolamos o termo du/dx:
x\frac{du}{dx} =\frac{1+u^{2}}{u}-u =\frac{1+u^{2}-u^{2}}{u} =\frac{1}{u}.
Logo
\frac{du}{dx}=\frac{1}{u\,x}.

Passo 4

Esta é uma equação separável. Separe e integre:
u\,du=\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \int u\,du = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{u^{2}}{2}=\ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Volte à variável original y, lembrando que u=y/x:
\frac{1}{2}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2}=\ln\lvert x\rvert + C \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2}=2\ln\lvert x\rvert + C',
onde C'=2C é constante arbitrária.

Resposta

\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2}=2\ln\lvert x\rvert + C.

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