Resolva: y^{\prime}+y \ln x=x^{-x}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' + y\,\ln x = x^{-x}
e pede a solução geral. O conteúdo aqui é equação linear do tipo
y' + P(x)\,y = Q(x),
onde vamos usar fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão e identificamos
P(x) = \ln x, \quad Q(x) = x^{-x}.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int \ln x\,dx\Bigr).
Como \int \ln x\,dx = x\ln x - x, temos
\mu(x) = e^{\,x\ln x - x} = x^x\,e^{-x}.

Passo 4

Multiplicando a equação por \mu(x), vem
\frac{d}{dx}\bigl(y\,\mu(x)\bigr) = \mu(x)\,Q(x) = x^x e^{-x}\cdot x^{-x} = e^{-x}.
Integrando ambos os lados,
y\,\mu(x) = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C.

Passo 5

Isolando y,
y = \frac{-e^{-x} + C}{\mu(x)} = \frac{-e^{-x} + C}{x^x e^{-x}} = \frac{-1 + C\,e^x}{x^x}.

Resposta

y(x) = \frac{C\,e^x - 1}{x^x},
onde C é a constante de integração.

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