Resolva os PVI:
y' = (x^2 y - y) / (y + 1) ; y(3) = -1.

Passo 1

Vamos resolver o Problema de Valor Inicial (PVI) dado por:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Podemos fatorar o y no numerador:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis y e x. Multiplicamos ambos os lados por :

Passo 4

Dividimos ambos os lados por y para continuar separando as variáveis:
Isso permite que integremos cada lado separadamente.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integração nos levará a:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante de integração C:
Substituindo e na equação:
Sabemos que , então:

Resposta

A solução implícita do PVI é:

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