Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste de Comparação para verificar se a série
converge ou diverge. Então, vamos precisar entender o que é o Teste de Comparação e como aplicá-lo aqui.
Passo 2
Primeiro, o Teste de Comparação funciona assim: a gente compara a série que está sendo analisada com outra série que a gente já sabe se converge ou diverge. Se todos os termos da nossa série forem menores ou iguais aos da série de comparação e essa série de comparação converge, então a nossa também converge. O inverso vale para divergência.
Passo 3
Olha só a série que vamos comparar:
. Essa é uma série p onde
. Sabemos que séries p convergem se
, então essa série converge.
Passo 4
Agora, vamos comparar os termos das duas séries. Observa que para todo
:
Isso porque
, então o denominador maior faz com que a fração seja menor.
Passo 5
Como
e
converge, pelo Teste de Comparação a série original
também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste de Comparação.