Resolva: y^{\prime}=\frac{y \ln y}{x}.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
y' = \frac{y \,\ln y}{x}
e pede sua solução geral. O conteúdo a usar aqui é o método de variáveis separáveis, pois podemos isolar todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro. Note que precisamos de \ln y, então assumimos y>0 e x\neq0.

Passo 2

Escrevemos a derivada como \frac{dy}{dx} e separamos as variáveis:
\frac{dy}{dx} = \frac{y \,\ln y}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y \,\ln y} = \frac{dx}{x}.

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, fazemos a substituição
u = \ln y \quad\Rightarrow\quad du = \frac{dy}{y}.
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\frac{dy}{y \,\ln y} = \frac{1}{u}\,du.

Passo 4

Agora integramos cada lado:
\int \frac{1}{u}\,du = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|u\bigr| = \ln\bigl|x\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original u=\ln y, temos
\ln\bigl|\ln y\bigr| = \ln\bigl|x\bigr| + C.
Exponentiando,
\bigl|\ln y\bigr| = e^{C}\,\bigl|x\bigr|.
Chamando K=e^{C} (que pode ter sinal absorvido), obtemos
\ln y = K\,x.

Passo 6

Isolamos y exponenciando novamente:
y = e^{K x},
onde K é a constante arbitrária. Essa é a solução geral da equação diferencial, válida para y>0.

Resposta

A solução geral é
\boxed{y(x) = e^{Kx},}
com K constante de integração.

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