Determine e esboce o domínio e a imagem da função.
f(x, y)=raizy-x^21-x^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e esboçar o domínio e a imagem da função $ f(x, y) = \frac{\sqrt{y - x^{2}}}{1 - x^{2}} $. A matéria envolvida aqui é funções de duas variáveis, focando em entender onde a função está “valendo a pena” (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para isso, vamos analisar as restrições da função, como raízes quadradas e denominadores que não podem ser zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os pares (x, y) para os quais a função está definida. Na nossa função, temos duas partes que impõem restrições:
  1. Radicando da raiz quadrada: $ y - x^{2} $ precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá para tirar raiz quadrada de número negativo. Então, temos:
    y - x^2
  2. Denominador: $ 1 - x^{2} $ não pode ser zero, já que divisão por zero é indefinida. Então:
    y - x^2 >= 0 Rightarrow y >= x^2

Passo 3

Vamos resumir as condições para o domínio:
  • $ y \geq x^{2} $: isso representa todos os pontos y >= x^2 que estão ou acima da parábola $ y = x^{2} $.
  • $ x \neq 1 $ e $ x \neq -1 $: essas são as restrições para o denominador. Ou seja, os valores de $ x $ não podem ser $ 1 $ nem $ -1 $.
Portanto, o domínio é o conjunto de todos os pontos (x, y) onde $ y \geq x^{2} $ e $ x \neq \pm 1 $.

Passo 4

Agora, vamos para a imagem da função, que são todos os valores que $ f(x, y) $ pode assumir com f(x, y) no domínio.
Vamos analisar a função:
(x, y)
Para explorar a imagem, podemos tentar ver quais valores $ f(x, y) $ pode ter:
  • O numerador, $ \sqrt{y - x^{2}} $, é sempre não negativo porque estamos tirando a raiz quadrada.
  • O denominador, $ 1 - x^{2} $, pode ser positivo ou negativo, exceto quando $ x = \pm 1 $.
Então, $ f(x, y) $ pode ser positivo ou negativo, dependendo do valor de $ x $.

Passo 5

Vamos considerar diferentes casos para entender melhor a imagem:
  1. Quando $ |x| < 1 $:
    • O denominador $ 1 - x^{2} $ é positivo.
    • O numerador $ \sqrt{y - x^{2}} $ é não negativo.
    • Portanto, $ f(x, y) $ é não negativo.
  2. Quando $ |x| > 1 $:
    • O denominador $ 1 - x^{2} $ é negativo.
    • O numerador $ \sqrt{y - x^{2}} $ é não negativo.
    • Portanto, $ f(x, y) $ é não positivo (ou seja, negativo ou zero).
Além disso, porque $ y \geq x^{2} $, o valor dentro da raiz pode variar de zero até infinito à medida que $ y $ aumenta.

Passo 6

Como resultado, a imagem da função $ f(x, y) $ é todo o conjunto de números reais exceto quando $ x = \pm 1 $, mas como já excluímos $ x = \pm 1 $ no domínio, a imagem cobre todos os valores reais. Isso porque, ajustando $ y $ e $ x $, podemos fazer $ f(x, y) $ assumir qualquer valor real.

Resposta

O domínio da função $ f(x, y) $ é o conjunto de todos os pares f(x, y) tais que $ y \geq x^{2} $ e $ x \neq \pm 1 $. A imagem da função é todo o conjunto dos números reais, ou seja, $ \mathbb{R} $.

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