Determine e esboce o domínio e a imagem da função.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e esboçar o domínio e a imagem da função $ f(x, y) = \frac{\sqrt{y - x^{2}}}{1 - x^{2}} $. A matéria envolvida aqui é funções de duas variáveis, focando em entender onde a função está “valendo a pena” (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para isso, vamos analisar as restrições da função, como raízes quadradas e denominadores que não podem ser zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os pares
para os quais a função está definida. Na nossa função, temos duas partes que impõem restrições:
-
Radicando da raiz quadrada: $ y - x^{2} $ precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá para tirar raiz quadrada de número negativo. Então, temos:
-
Denominador: $ 1 - x^{2} $ não pode ser zero, já que divisão por zero é indefinida. Então:
Passo 3
Vamos resumir as condições para o domínio:
- $ y \geq x^{2} $: isso representa todos os pontos
que estão ou acima da parábola $ y = x^{2} $. - $ x \neq 1 $ e $ x \neq -1 $: essas são as restrições para o denominador. Ou seja, os valores de $ x $ não podem ser $ 1 $ nem $ -1 $.
Portanto, o domínio é o conjunto de todos os pontos
onde $ y \geq x^{2} $ e $ x \neq \pm 1 $.
Passo 4
Agora, vamos para a imagem da função, que são todos os valores que $ f(x, y) $ pode assumir com
no domínio.
Vamos analisar a função:
Para explorar a imagem, podemos tentar ver quais valores $ f(x, y) $ pode ter:
- O numerador, $ \sqrt{y - x^{2}} $, é sempre não negativo porque estamos tirando a raiz quadrada.
- O denominador, $ 1 - x^{2} $, pode ser positivo ou negativo, exceto quando $ x = \pm 1 $.
Então, $ f(x, y) $ pode ser positivo ou negativo, dependendo do valor de $ x $.
Passo 5
Vamos considerar diferentes casos para entender melhor a imagem:
-
Quando $ |x| < 1 $:
- O denominador $ 1 - x^{2} $ é positivo.
- O numerador $ \sqrt{y - x^{2}} $ é não negativo.
- Portanto, $ f(x, y) $ é não negativo.
-
Quando $ |x| > 1 $:
- O denominador $ 1 - x^{2} $ é negativo.
- O numerador $ \sqrt{y - x^{2}} $ é não negativo.
- Portanto, $ f(x, y) $ é não positivo (ou seja, negativo ou zero).
Além disso, porque $ y \geq x^{2} $, o valor dentro da raiz pode variar de zero até infinito à medida que $ y $ aumenta.
Passo 6
Como resultado, a imagem da função $ f(x, y) $ é todo o conjunto de números reais exceto quando $ x = \pm 1 $, mas como já excluímos $ x = \pm 1 $ no domínio, a imagem cobre todos os valores reais. Isso porque, ajustando $ y $ e $ x $, podemos fazer $ f(x, y) $ assumir qualquer valor real.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) $ é o conjunto de todos os pares
tais que $ y \geq x^{2} $ e $ x \neq \pm 1 $. A imagem da função é todo o conjunto dos números reais, ou seja, $ \mathbb{R} $.