Resolva os PVIs abaixo.
\left{ lt^3 y^prime+4 t^2 y=e^-t y(-1)=0\right.

Passo 1

O enunciado dá o PVI
t^3y' + 4t^2y = e^-t, y(-1)=0,
que é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Para resolver, vamos:
  1. Colocar em forma padrão y' + p(t)y = g(t).
  2. Encontrar o fator integrante mu(t).
  3. Multiplicar toda a equação por mu(t) e integrar.
  4. Aplicar a condição inicial para achar a constante de integração.

Passo 2

Dividindo tudo por t^3 (assumindo tneq0), obtemos a forma padrão:
y' + underbrace4t^2t^3p(t),y = e^-tt^3
Ou seja,
y' + 4t,y = t^-3e^-t

Passo 3

O fator integrante é
mu(t) = expl(integral p(t),dtr) = expl(integral 4t,dtr) = expl(4ln|t|r) = t^4

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t)=t^4:
t^4y' + 4t^3y = t^4cdot t^-3e^-t Longrightarrow (t^4y)' = t,e^-t
Agora integramos ambos os lados:
integral (t^4y)',dt = integral t,e^-t,dt
Para integral t,e^-t,dt, usemos integração por partes:
integral t,e^-t,dt = -t,e^-t - e^-t = -(t+1)e^-t + C
Logo
t^4y = -(t+1)e^-t + C

Passo 5

Isolando y:
y = -(t+1)e^-tt^4 + Ct^4
Agora aplicamos y(-1)=0:
0 = -(-1+1)e^1(-1)^4 + C(-1)^4 = -0cdot e1 + C ;Longrightarrow;C=0

Resposta

boxedy(t) = -(t+1)e^-tt^4

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