Resolva os PVIs abaixo.
\left{ lt y^prime+2 y=sen t y(pi2)=1\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
t,y' + 2,y = sin t, y!l(tfracpi2r)=1
Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem. Vamos primeiro escrever na forma padrão e depois usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo por t (supondo tneq0), obtemos a forma
y' + 2t,y = sin tt

Passo 3

O fator integrante é
mu(t) = expl(integral 2t,dtr) = exp(2ln t) = t^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por t^2, o que transforma o lado esquerdo na derivada do produto:
(t^2,y)' = t^2cdotsin tt = t,sin t

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
t^2,y = integral t,sin t,dt + C
Para calcular a integral por partes, notamos que
integral t,sin t,dt = -tcos t + integral cos t,dt = -tcos t + sin t
Logo
t^2,y = -tcos t + sin t + C

Passo 6

Isolando y, temos
y(t) = -tcos t + sin t + Ct^2

Passo 7

Aplicamos a condição inicial yl(tfracpi2r)=1. Em t=tfracpi2 vale cos(tfracpi2)=0 e sin(tfracpi2)=1, portanto
1 = y!l(tfracpi2r) = -tfracpi2cdot0 + 1 + C(tfracpi2)^2 = 1 + Ctfracpi^24
Dessa equação segue
1 + C = pi^24 Longrightarrow C = pi^24 - 1

Passo 8

Substituindo C na expressão geral, obtemos a solução final:
y(t) = -tcos t + sin t + l(tfracpi^24-1r)t^2

Resposta

boxedy(t) = -tcos t + sin t + pi^24 - 1t^2

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