Resolva os PVIs abaixo.
\left{ ly^prime+2 y=t e^-2 t y(1)=0\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'+2y = t,e^-2t, y(1)=0
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevendo em forma padrão, identificamos
p(t)=2, g(t)=t,e^-2t
O fator integrante é
mu(t)=e^integral p(t),dt=e^integral 2,dt=e^2t

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(t):
e^2ty' + 2e^2ty = t,e^-2t,e^2t Longrightarrow ddtl(e^2tyr)=t

Passo 4

Integramos em relação a t:
e^2ty = integral t,dt = t^22 + C,
onde C é constante de integração. Assim a solução geral é
y(t)=e^-2tl(t^22+Cr)

Passo 5

Aplicando a condição y(1)=0:
0 = e^-2l(tfrac1^22+Cr) Longrightarrow C=-tfrac12
Logo,
y(t)=e^-2tl(tfract^22-tfrac12r) =t^2-12,e^-2t

Resposta

y(t)=t^2-12,e^-2t

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