Resolva os PVIs abaixo.
\left{ lt y^prime+2 y=t^2-t+1 y(1)=12\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
t,y'(t)+2,y(t)=t^2-t+1, y(1)=tfrac12,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão
y'(t)+P(t),y(t)=Q(t),
identificar o fator integrante mu(t), e então usar
ddtl[mu(t),y(t)r]=mu(t),Q(t)

Passo 2

Primeiro dividimos toda a equação por t (assumindo tneq0) para obter a forma padrão:
y'(t)+2t,y(t)=t-1+1t
Aqui P(t)=tfrac2t e Q(t)=t-1+tfrac1t.

Passo 3

O fator integrante é
mu(t)=exp!l(integral P(t),dtr) =exp!l(integral tfrac2t,dtr) =expl(2ln|t|r) =t^2
(para t>0 tomamos mu(t)=t^2).

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(t)=t^2 obtemos
t^2,y'(t)+2t,y(t) =;t^2l(t-1+tfrac1tr) =t^3-t^2+t
O lado esquerdo é tfracddt[t^2,y(t)], logo
ddtl[t^2,y(t)r] =t^3-t^2+t
Integramos em t:
t^2,y(t) =integrall(t^3-t^2+tr),dt =t^44-t^33+t^22+C
Portanto
y(t) =1t^2l(t^44-t^33+t^22+Cr) =t^24-t3+12+Ct^2

Passo 5

Usamos a condição y(1)=tfrac12:
y(1)=14-13+12+!C =312-412+612+C =512+C overset!=12=612,
logo C=tfrac112.

Resposta

boxedy(t)=t^24-t3+12+112,t^2

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