Questäo 1 (2,0 pontos) Considere a funçäo f: R^2 longrightarrow R, definida por
f(x, y)=ll x^3+y^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
(a) (1,0 ponto) Determine os pontos nos quais f é contínua;
(b) (1,0 ponto) Caso existam, calcule partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= x^3+y^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis e derivadas parciais pelo limite do quociente incremental. Precisamos verificar a continuidade em pontos fora e em (0,0), e depois calcular as derivadas parciais em (0,0) pela definição.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), o numerador x^3+y^3 e o denominador x^2+y^2 são polinômios e x^2+y^2neq0. Logo, f é quociente de funções contínuas com denominador não nulo, portanto f é contínua em todos os pontos com (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Em (0,0), investigamos
lim(x,y)to(0,0)x^3+y^3x^2+y^2
Usando coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, temos
x^3+y^3x^2+y^2 =r^3(cos^3theta+sin^3theta)r^2 =rl(cos^3theta+sin^3thetar)
Como cos^3theta+sin^3theta é limitado, o produto tende a 0 quando rto0. Portanto
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0),
logo f é contínua também em (0,0).

Passo 4

Para calcular partial fpartial x(0,0) usamos a definição
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Como f(h,0)=h^3+0h^2+0=h, temos
f(h,0)-0h=hh=1,
logo partial fpartial x(0,0)=1.

Passo 5

De modo análogo,
f(0,h)=0+h^30+h^2=h,
logo
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-0h =limhto0hh=1

Resposta

(a) f é contínua em todo R^2.
(b) partial fpartial x(0,0)=1 e partial fpartial y(0,0)=1.

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