Resolva os PVIs abaixo pelo método da Transformada de Laplace encontrando as funções y=y(t) que satisfazem os PVIs:
\begin{gathered}\text { a) }[1 p t]\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+11 y=e^{-13 t} \y(0)=7\end{array}\right.\end{gathered}

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver o problema de valor inicial
y'(t) + 11\,y(t) = e^{-13t},\quad y(0)=7
usando a transformada de Laplace. Vamos transformar a EDO em função algébrica em s, aplicar frações parciais e depois inverter a transformada.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo, lembrando que
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=s\,Y(s)-y(0) e \mathcal{L}\{e^{-13t}\}(s)=\tfrac{1}{s+13}, obtemos
s\,Y(s) - 7 + 11\,Y(s) \;=\;\frac{1}{s+13}.
Agrupando Y(s),
(s+11)\,Y(s) = 7 + \frac{1}{s+13} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{7}{s+11} + \frac{1}{(s+11)(s+13)}.

Passo 3

Para inverter a transformada, fazemos frações parciais em
\displaystyle \frac{1}{(s+11)(s+13)}. Escrevemos
\frac{1}{(s+11)(s+13)} = \frac{A}{s+11} + \frac{B}{s+13}.
Isso leva ao sistema A+B=0 e 13A+11B=1. Daí
A = \tfrac12,\quad B = -\tfrac12.
Logo
Y(s) = \frac{7}{s+11} + \frac{1/2}{s+11} - \frac{1/2}{s+13} = \frac{15/2}{s+11} - \frac{1/2}{s+13}.

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, sabendo que
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}(t)=e^{-a t}. Assim,
y(t) = \frac{15}{2}\,e^{-11t} \;-\;\frac{1}{2}\,e^{-13t}.

Resposta

y(t) = \frac{15}{2}\,e^{-11t} \;-\;\frac{1}{2}\,e^{-13t}.

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