Resolva os PVIs abaixo pelo método da Transformada de Laplace encontrando as funções y=y(t) que satisfazem os PVIs:
\begin{gathered}\text { c) }[1,5 p t s]\left\{\begin{array}{c}y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y \y(0)=0 ; y^{\prime}(0)=-1\end{array}=\cos (t)\right.\end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
\begin{cases} y'' - 3y' + 2y = \cos(t),\\\ y(0)=0,\quad y'(0)=-1, \end{cases}
usando o método da transformada de Laplace. Vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica em Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, resolver para Y(s) e depois inverter a transformada para obter y(t).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),\qquad \mathcal{L}\{y'\}=s\,Y(s)-y(0),
obtemos
s^2Y(s)-0-(-1)\;-\;3\bigl(sY(s)-0\bigr)\;+\;2Y(s) =\mathcal{L}\{\cos t\}=\frac{s}{s^2+1}.
Isso simplifica para
(s^2-3s+2)\,Y(s)+1=\frac{s}{s^2+1} \quad\Longrightarrow\quad (s^2-3s+2)\,Y(s)=\frac{s}{s^2+1}-1.

Passo 3

Isolando Y(s) e colocando em forma única de fração:
Y(s) =\frac{\displaystyle\frac{s}{s^2+1}-1}{s^2-3s+2} =\frac{-s^2+s-1}{(s^2+1)\,(s^2-3s+2)}.
Como s^2-3s+2=(s-1)(s-2), fica
Y(s)=\frac{-s^2+s-1}{(s^2+1)(s-1)(s-2)}.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais
\frac{-s^2+s-1}{(s^2+1)(s-1)(s-2)} =\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s-2}+\frac{Cs+D}{s^2+1}.
Multiplicando em comum denominador e igualando coeficientes, encontra-se
A=\tfrac12,\quad B=-\tfrac35,\quad C=\tfrac1{10},\quad D=-\tfrac3{10}.
Portanto
Y(s) =\frac{\tfrac12}{s-1} -\frac{\tfrac35}{s-2} +\frac{\tfrac1{10}s-\tfrac3{10}}{s^2+1}.

Passo 5

Invertendo termo a termo, lembrando que
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s-a}\}=e^{at},\quad \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^2+1}\}=\cos t,\quad \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s^2+1}\}=\sin t,
temos
y(t) =\tfrac12\,e^{t} -\tfrac35\,e^{2t} +\tfrac1{10}\,\cos t -\tfrac3{10}\,\sin t.

Resposta

\boxed{y(t)=\frac12\,e^{t}-\frac35\,e^{2t}+\frac1{10}\cos t-\frac3{10}\sin t.}

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