Resolva os PVIs abaixo pelo método da Transformada de Laplace encontrando as funções y=y(t) que satisfazem os PVIs:
\begin{gathered}\text { b) }[1,5 p t s]\left\{\begin{array}{c}y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y \y(0)=2 ; y^{\prime}(0)=7\end{array}=4 e^{3 t}\right.\end{gathered}

Passo 1

O exercício pede para resolver o PVI
y'' - 4y' + 5y = 4e^{3t},\quad y(0)=2,\;y'(0)=7
pelo método da Transformada de Laplace. Vamos chamar Y(s)=\mathcal L\{y(t)\} e usar as propriedades
\mathcal L\{y'\}=sY(s)-y(0),\qquad \mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicando \mathcal L em cada termo da equação e usando y(0)=2, y'(0)=7, obtemos
\bigl(s^2Y(s)-2s-7\bigr)\;-\;4\bigl(sY(s)-2\bigr)\;+\;5Y(s) \;=\;\mathcal L\{4e^{3t}\} \;\;=\;\frac{4}{s-3}.
Agora distribuímos e somamos termos semelhantes no lado esquerdo.

Passo 3

No lado esquerdo, os coeficientes de Y(s) e os termos independentes ficam:
(s^2-4s+5)\,Y(s)\;-\;(2s+7)+8 \;=\;\frac{4}{s-3}.
Como -7+8=1, isso vira
(s^2-4s+5)\,Y(s) \;=\;\frac{4}{s-3} \;+\;2s-1.
Logo
Y(s) =\frac{2s-1}{s^2-4s+5} \;+\;\frac{4}{(s-3)\bigl(s^2-4s+5\bigr)}.

Passo 4

Para inverter a transformada, escrevemos s^2-4s+5=(s-2)^2+1 e fazemos fração parcial na segunda parcela:
\frac{4}{(s-3)[(s-2)^2+1]} =\frac{A}{s-3}+\frac{Bs+C}{(s-2)^2+1}.
Igualando numeradores e resolvendo dá A=2, B=-2, C=2. Assim
\frac{4}{(s-3)[(s-2)^2+1]} =\frac{2}{s-3}-\frac{2s-2}{(s-2)^2+1} =\frac{2}{s-3}-\frac{2(s-2)}{(s-2)^2+1}-\frac{2}{(s-2)^2+1}.
Somando com \displaystyle\frac{2s-1}{(s-2)^2+1}, nota-se que os termos em \tfrac{s-2}{(s-2)^2+1} se simplificam, sobrando
Y(s) =\frac{1}{(s-2)^2+1} \;+\;\frac{2}{s-3}.

Passo 5

Agora usamos as transformadas inversas conhecidas:
\mathcal L^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{(s-2)^2+1}\Bigr\} =e^{2t}\sin t, \qquad \mathcal L^{-1}\Bigl\{\tfrac{2}{s-3}\Bigr\} =2e^{3t}.
Portanto
y(t)=e^{2t}\sin t \;+\;2e^{3t}.

Resposta

y(t)=e^{2t}\sin t + 2e^{3t}.

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