Resolva os PVIs com equações separáneis
ly^prime=x^3(1-y) y(0)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial primeiro de ordem usando equações separáveis. O que a gente tem aqui é uma equação que relaciona a derivada de $ y $ em relação a $ x $, junto com uma condição inicial $ y(0) = 3 $. Vamos precisar separar as variáveis para conseguir integrar e achar a solução.

Passo 2

Primeiro, a equação que temos é:
y' = x^3(1 - y)
Isso significa que a derivada de $ y $ em relação a $ x $ depende de $ x^3 $ e de $ (1 - y) $. Nosso objetivo é separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $.

Passo 3

Vamos reescrever $ y’ $ como $ \frac{dy}{dx} $:
y'
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Dividimos ambos os lados por $ (1 - y) $ e multiplicamos por $ dx $:
dydx
Dessa forma, conseguimos isolar $ y $ de um lado e $ x $ do outro.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
integral dy1 - y = integral x^3 dx
A integral do lado esquerdo é $ -\ln|1 - y| + C_1 $ e do lado direito é $ \frac{x^{4}}{4} + C_2 $. Podemos combinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma só constante $ C $:
-ln|1 - y| + C1

Passo 5

Vamos resolver para $ y $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ -1 $:
y
Podemos escrever $ -C $ como uma nova constante $ C’ $:
-1
Agora, aplicamos a função exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
ln|1 - y| = -x^44 - C
Vamos chamar $ e^{C’} $ de $ K $, onde $ K $ é uma constante:
-C
Finalmente, isolamos $ y $:
C'

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial $ y(0) = 3 $ para encontrar o valor de $ K $. Substituindo $ x = 0 $ na equação:
y(0) = 3
K
x = 0
3 = 1 - K e^0
Substituindo $ K $ de volta na equação de $ y $:
3 = 1 - K times 1

Resposta

A solução do PVI é $ y = 1 + 2 e{-\frac{x{4}}{4}} $.

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