Resolva os PVIs com equações separáneis
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial primeiro de ordem usando equações separáveis. O que a gente tem aqui é uma equação que relaciona a derivada de $ y $ em relação a $ x $, junto com uma condição inicial $ y(0) = 3 $. Vamos precisar separar as variáveis para conseguir integrar e achar a solução.
Passo 2
Primeiro, a equação que temos é:
Isso significa que a derivada de $ y $ em relação a $ x $ depende de $ x^3 $ e de $ (1 - y) $. Nosso objetivo é separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $.
Passo 3
Vamos reescrever $ y’ $ como $ \frac{dy}{dx} $:
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Dividimos ambos os lados por $ (1 - y) $ e multiplicamos por $ dx $:
Dessa forma, conseguimos isolar $ y $ de um lado e $ x $ do outro.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é $ -\ln|1 - y| + C_1 $ e do lado direito é $ \frac{x^{4}}{4} + C_2 $. Podemos combinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma só constante $ C $:
Passo 5
Vamos resolver para $ y $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ -1 $:
Podemos escrever $ -C $ como uma nova constante $ C’ $:
Agora, aplicamos a função exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Vamos chamar $ e^{C’} $ de $ K $, onde $ K $ é uma constante:
Finalmente, isolamos $ y $:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial $ y(0) = 3 $ para encontrar o valor de $ K $. Substituindo $ x = 0 $ na equação:
Substituindo $ K $ de volta na equação de $ y $:
Resposta
A solução do PVI é $ y = 1 + 2 e{-\frac{x{4}}{4}} $.